Question

在△ABC中，角ABC的对边分别为a，b，c，且acosC,bosB,ccosA成等比数列

（1）求角B的值
（2）若b=5,求三角形ABC周长的取值范围

Answer 1

原题应为：
在△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c且acosC、bcosB、ccosA成等差数列
（1）求角B的值
（2）若b=5,求△ABC周长的取值范围

（1）由“acosC、bcosB、ccosA成等差数列”可得：
2bcosB=acosC+ccosA
即2bcosB=(a^2+b^2-c^2)/2b+(b^2+c^2-a^2)/2c
=b
即cosB=1/2
即B=60°
（2）b^2=a^2+c^2-2accosB,
b^2=a^2+c^2-ac,
25=a^2+c^2-ac,
25=(a+c)^2-3ac≥(a+c)^2-3[(a+c)/2]^2,
即25≥(a+c)^2/4, a+c≤10，

△ABC周长L=a+b+c= a+c+5≤15,
又有周长L=a+b+c=a+c+5>b+5=10,
周长L的取值范围是(10,15].