Question

已知如图，O为△ABC内一点 试说明½AB+½AC+½BC＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC

Answer 1

证明：

   过A作AM=AO，交CO或者CO的延长线为M，同理过B点，作 BN=BO，交AO或者AO的延长线为N, 过C点作AP=CO，交BO或者BO的延长线为P；（见图1为锐角三角形情况，图2为钝角三角形的情况，图2中BN就交于AO内，并没有在AO的延长线上）

（1） 证明：AO+BO+CO>(AB+AC+BC)/2

由△ABO内，AO+BO>AB；同理得：BO+CO>BC；AO+CO>AC；

将上三个不等式相加，即得：AO+BO+BO+CO+AO+CO>AB+BC+AC,

整理得：AO+BO+CO>(AB+AC+BC)/2。

（2） 证明：AO+BO+CO<AB+AC+BC

       由△AMO内,由于∵AM=AO,∴∠M=∠AOM, 

又在△AOC中，∵∠AOM=∠ACO+∠OAC，∴∠AOM>∠ACO,

∴∠M>∠ACO，∴在△AMC中有：AC>AM，∵AM=AO,

∴  AC>AO；……………………………………① 

同理利用△BNO、△BAO与△BNA同样方法，可以证明：AB>BO；……③.

同理利用△PCO、△BCO与△BCP同样方法，可以证明：BC>CO；……③.

①+②+③ 得：AB+AC+BC>AO+BO+CO。

综合（1）、（2）得：(AB+AC+BC)/2< AO+BO+CO< AB+AC+BC。

   

 （本这不是唯一证明此题的方法，可能有更简洁的方法请大师们献上；本方法的最大难点是很难让人想到“A作AM=AO，交CO或者CO的延长线为M。。。”辅助线）

Answer 2

根据三角形两边之和大于第三边
得出：AO+BO＞AB
BO+CO＞BC
AO+CO＞AC
两边相加：2（AO+BO+CO)＞AC+AB+BC
所以：AO+BO+CO＞½AB+½AC+½BC

根据两边之差小于第三边
得出：AC-CO＞AO
BC-BO＞CO
AB-AO＞BO
两边相加:AC+AB+BC-(AO+BO+CO)＞AO+BO+CO
AC+AB+BC＞2（AO+BO+CO）
所以 AC+AB+BC＞AO+BO+CO
所以AC+AB+BC＞AO+BO+CO＞½AB+½AC+½BC