Question

数列简单问题

问个简单问题：数列中a1=1，an=1+(1/3)a[n-1]
（比如a2=1+(1/3)×a1=1+(1/3)×1=4/3）
求 an的通项公式

我猜是(4/3)^(n-1)
但不知道怎么算

恳请各位牛人帮一下忙，谢谢！【本人数学仅初中水平，故语言最好尽量易懂些】
一楼的：
如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。如an=(-1)^(n+1)+1。

如果数列｛an｝的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。如an=2a(n-1)+1 (n>1)

所以an=1+(1/3)a[n-1]是递推公式，而不是通项公式

文仙哥：an-3/2=(1/3)a(n-1)+1-3/2=(1/3)[a(n-1)-3/2]
所以数列{an-3/2}是等比数列

什么意思啊

Answer 1

首先，你的猜想是错的。
a2=1+(1/3)×a1=1+(1/3)×1=4/3
a3=1+(1/3)×a2=1+(1/3)×(4/3)=13/9≠(4/3)^2

a1=1,an=(1/3)a(n-1)+1
an-3/2=(1/3)a(n-1)+1-3/2=(1/3)a(n-1)-1/2=(1/3)[a(n-1)-3/2]

令bn=an-3/2
那么bn=(1/3)b(n-1)
故数列{bn}是等比数列

b1=a1-3/2=1-3/2=-1/2
所以bn=b1*(1/3)^(n-1)=(-1/2)*(1/3)^(n-1)

所以an=bn+3/2=(-1/2)*(1/3)^(n-1)+3/2

其实如果遇到这样的情况：
an=c*a(n-1)+d
可以构造一个等比数列来
两边同时加上d/(c-1)

an+d/(c-1)=c*[a(n-1)+d/(c-1)]

还有很多情况，都可以通过递推公式构造求出通项公式，上了高中你应该会遇到。

Answer 2

通项公式不就是an=1+(1/3)a(n-1)吗？

Answer 3

an=bn+3/2=(-1/2)*(1/3)^(n-1)+3/2