Question

已知椭圆c， x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)经过P(1,√2/2），且两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形

动直线l: mx+ny+1/3n=0 ,交椭圆与AB两点，求证： 以AB为直径的动圆，恒经过（0，1）

Answer 1

x^2/a^2 + y^2/b^2 =1 (a>b>0)经过P(1,√2/2），所以1/a^2+1/2b^2=1
两焦点与短轴的一个端点构成等腰直角三角形 ，所以a^2=2c^2
又a^2=b^2+c^2
所以a^2=2 b^2=1 c^2=1
椭圆方程为x^2/2 + y^2 =1
动直线l: mx+ny+1/3n=0 ,交椭圆与AB两点,设A，B坐标为（x1，y1），（x2，y2）
联立直线与椭圆方程消y得（9n^2+18m^2）x^2+12mnx-16n^2=0
所以x1+x2=-4nm/(3n^2+6m^2) x1x2=-16n^2/(9n^2+18m^2) ………… (1)
y1+y2= y1y2= (自己求，太烦了) …………（2）
以AB为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0
展开得x^2-(x1+x2)x+x1x2+y^2-(y1+y2)y+y1y2=0
把（1）（2）代入可得方程