Question

已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)过点M(0,2)离心率e=根号6/3

求椭圆的方程
设过定点N（2，0）的直线与椭圆相交于A。B两点，且∠AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l斜率的取值范围

Answer 1

(1)b=2,c/a=√6/3，
∴(a^2-4)/a^2=2/3,3a^2-12=2a^2,a^2=12,
∴椭圆方程是x^2/12+y^2/4=1.①
(2)设AB:y=k(x-2),②
代入①，x^2+3k^2*(x^2-4x+4)=12,
整理得(1+3k^2)x^2-12k^2*x+12k^2-12=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则
x1+x2=12k^2/(1+3k^2),x1x2=(12k^2-12)/(1+3k^2),
由②，y1y2=k(x1-2)*k(x2-2)=k^2*[x1x2-2(x1+x2)+4],
∠AOB为锐角,
<==>x1x2+y1y2=(1+k^2)x1x2-2k^2*(x1+x2)+4k^2>0,
<==>(1+k^2)(12k^2-12)-2k^2*12k^2+4k^2*(1+3k^2)>0,
<==>12k^4-12-24k^4+4k^2+12k^4>0,
<==>k^2>3,
<==>k>√3或k<-√3，为所求.