Question

不等式两题

已知正实数x，y，则x^2+y^2+50/(x+2y)的最小值为2.在三角形ABC中，sinAsinBcosC的最小值为
答案是15和-1/8求过程

Answer 1

照理说用求导的方式可以统一的解决，不过我也可以给你展现适当的技巧，用一些基础的不等式解出来。
1）对于确定的正数t，考察若正实数x,y满足x+2y=t，函数的最值。只需考察x^2+y^2，照理可以反代为关于x的一元二次函数求极值，不过还是可以更规范的写出来的
(x^2+y^2)*(1^2+2^2)>=(x+2y)^2 （柯西不等式，等号仅在x/y=1/2成立） 立得函数对t的最小值为
(t^2)/5+50/t
考察t的取值使函数取最小
原式=(t^2)/5+25/t+25/t>=（利用基本不等式） 5*3=15
最小值在t=5 x/y=1/2即x=1 y=2取得。
2）若求最小值，自然角C为钝角（使乘积小于0）。对于确定的C，考察sinAsinB的最大值即可
sinAsinB=(cos(A-B)-cos(A+B))/2
A+B等于π-C是确定的，欲取最大值，A=B sinAsinB=(1-cos(π-C))/2 cos(π-C)=-cosC>0 记cos(π-C)=k
于是函数在C处最小值为-(1-k)k/2 由基本不等式立得(1-k)k<=1/4 函数最小值自然为-1/4/2=-1/8 在k=1/2，A=B时去最小值，即C=120° A=B=30°。

追问

太厉害了，特别是第二题技巧要求好高

Answer 2

6667 6666 77779