Question

设L为逆时针方向的圆周x^2y^2=9则曲线积分∫L（e^(x-y)+xy）dx+(siny+e^(x-y))dy=? 答案上说

利用二重积分的对称性 ∫L（-e^(x-y)+xy）dx+(siny+e^(x-y))dy 为什么无缘无故的在前面加了一个符号？ 希望解释清楚些 而且∫∫（-x）dxdy为啥就等于零了 谢了。。。

Answer 1

既然是求闭曲线积分，就用格林公式化为二重积分
那个负号应该是题目打印有误，如果是负的，曲线积分转化为二重积分∫∫（-x）dxdy
由于积分区域是圆x^2+y^2=9，关于y轴对称，所以∫∫（-x）dxdy=0

追问

关于y轴对称，所以∫∫（-x）dxdy=0 这个为啥？

追答

把这个二重积分看成在是y轴左右两平面积分的和，在y轴左半平面x0，两块积分面积相同，x是相反数，正负相加为0

Answer 2

曲线积分化为二重积分 用格林公式
∫Pdx+Qdy=∫∫（Q对x求导-P对y 求导）dxdy
=∫∫e^(x-y)-[（-e^(x-y)(-1)]dxdy
=∫∫- xdxdy
你的圆周方程不太对哦
二重积分 被积函数 关于x 是奇函数 ，曲线关于y轴对称 结果为零
被积函数 关于 y 是奇函数 ，曲线关于x轴对称 结果为零