Question

已知AD为△ABC的BC边上的高，E为AC上一点,BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证BE⊥AC

Answer 1

因为AD为角ABC的高,所以三角形BDF与三角形ADC,为RT三角形,因为BF=AC，FD=CD,两个三角形全等(HL),角BFD=角C
角DFE+角C=180,因为角FDC+角DFE+角C+角DFE+角CEF=360
所以角DFE+角C=90
所以角FEC=90
所以BE⊥AC

Answer 2

根据题意画图，证明：∵AD⊥BC，∴∠BDF=∠ADC=90°又∵BF=AC，FD=CD，∴Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）∴∠C=∠BFD（全等三角形的对应角相等）在Rt△BDF中，∵∠FBD+∠BFD=90°（直角三角形的两锐角互余）∴∠FBD+∠C=90°（等量代换）∴∠BFC=90°即BE⊥AC

Answer 3

证明：延长AB到点F，使BF=AD∵AC=AB+BD∴AF=AC∵∠FAD=∠CAD，AD=AD∴△ADF≌△ADC∴∠F=∠C∵BD=BF ∴∠ABC=2∠F=2∠C∵BE 平分∠ABC∴∠EBC=1/2∠ABC=∠C∴EB=EC∴点E在BC的垂直平分线上 0