Question

定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)f(x)=1,当x属于[-2,0],时,f(x)=log2(-x+3),则f(2013)=???

Answer 1

解：当 -2<=x<=0 时，f(x) = log2(-x+3)
那么 f(-1) = log2(-(-1)+3) = log2(4) = 2 ；
由题意，f(x)f(x+2) = 1 ，
那么 f(-1)f(-1+2) = f(1)f(-1) = 1
即 f(1) = 1/f(-1) = 1/2 ；
继续下去， f(1)f(3) = 1 ，f(3) = 1/f(1) = 2 ，
类似有 f(5) = 1/2 ，f(7) = 2 ，......
即 f(4k+1) = 1/2 ，f(4k+3) = 2 ，其中k是自然数；
2013 = 4 * 503 + 1 ，属于 f(4k+1) 这一种情况，
所以 f(2013) = f(1) =1/2
希望对你有用，满意请采纳，谢谢~

Answer 2

解答：
f(x+2)f(x)=1 ①
将x换成x+2
∴ f(x+4)*f(x+2)=1 ②
①÷②
f(x)/f(x+4)=1
即 f(x+4)=f(x)
∴ f(x)是周期为4的函数
2013=4*503+1
∴ f(2013)=f(1)
∵ f(x+2)*f(x)=1
令 x=-1
则f(1)*f(-1)=1
∵ f(-1)=log2(1+3)=2
∴ f(1)=1/2
∴ f(2013)=f(1)=1/2