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2011年天津中考模拟题
数 学 试 卷
*考试时间120分钟 试卷满分150分
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．| |＝（ ）
A． B． C．－ D．
2．如果一个四边形ABCD是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
3． 下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
5．二次函数y＝（2x－1） ＋2的顶点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，－2） C．（ ，2） D．（－ ，－2）
6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
7． 如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8． 如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，
若DE＝2，OE＝3，则tanC•tanB＝ （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．写出一条经过第一、二、四象限，且过点( ， )的直线解析式 .
10．一元二次方程x ＝5x的解为 ．
11． 凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是： ，按照这样的规律，这个数列的第8项应该是 ．
12．一个四边形中，它的最大的内角不能小于 ．
13．某学习小组中共有12名同学，其中男生有7人．现在要从这12名同学中抽调两名同学去参加数学知识竞赛，抽调的两名同学都是男生的概率是 ．
14． 如图，△ABC中，BD和CE是两条高，如果∠A＝45°，则 ＝ ．
15．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为
⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C＝__________度．
16．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm.
O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO
与OB．抛物线y＝ax 经过C、D两点，则图中阴影部分
的面积是 cm2.
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
17．计算：
18．计算：
19．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE ；
（2）若BC⊥AB，且BC＝16，AB＝17，求AF的长．
20．观察下面方程的解法
x －13x ＋36＝0
解：原方程可化为（x －4）（x －9）＝0
∴（x＋2）（x－2）（x＋3）（x－3）＝0
∴x＋2＝0或x－2＝0或x＋3＝0或x－3＝0
∴x ＝2，x ＝－2，x ＝3，x ＝－3
你能否求出方程x －3｜x｜＋2＝0的解？
四、（每小题10分，共20分）
21．
（1）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是 ．
（2）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是 ．
（3）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是 ．
（4）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由．
22． 下面的表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题
（1）李刚同学6次成绩的极差是 ．
（2）李刚同学6次成绩的中位数是 ．
（3）李刚同学平时成绩的平均数是 ．
（4）如果用右图的权重给李刚打分，他应该得多少分？
（满分100分，写出解题过程）
五、（本题12分）
23．小明，小亮和小强都积极报名参加校运动会的1500米比赛，由于受到参赛名额的限制，三人中只有一人可以报名，体委权衡再三，决定用抽签的方式决定让谁参加。
他做了3张外表完全相同的签，里面分别写了字母A，B，C，规则是谁抽到“A”，谁就去参赛，小亮认为，第一个抽签不合算，因为3个签中只有一个“A”，别人抽完自己再抽概率会变大。
小强认为，最后抽不合算，因为如果前面有人把“A”抽走了，自己就没有机会了。
小明认为，无论第几个抽签，抽到A的概率都是 。
你认为三人谁说的有道理？请说明理由．
六、（本题12分）
24． 甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正北方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离
（2）甲轮船后来的速度．
七、（本题12分）
25． 王老师给出了一个二次函数的若干特点，要求甲、乙、丙三名同学按照这些特点求出它的解析式并画出它的图像，然后根据图像再说出一些特征．
甲同学首先求出解析式、画完图像并回答，他说：①抛物线的顶点为（1，－8）；②抛物线与y轴的交点在x轴的下方； ③抛物线开口向上；
乙同学第二个求出解析式并画出图像，他回答： ①抛物线的对称轴为直线x＝1； ②抛物线经过四个象限；③抛物线与x轴的两个交点间的距离为6；
丙同学最后一个完成任务，他说了他的看法：①甲、乙的各种说法都不对；②抛物线过（－1，5）和（5，5）；③抛物线不过（－1，0）．
王老师听了他们的意见，作出了评价，他说：“与正确的函数的图像比较，你们三个人中，有一个人三句话都回答正确了，还有一个同学有两句话是对的，另外一个同学很遗憾，回答得都不对”
请你根据王老师的评价，分析一下，哪一位同学的说法都是正确的，并根据正确的说法，求出这条抛物线的解析式．
八（本题14分）
26．
【探究】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，若EF∥AB
求证：BF＝CF
【知识应用】
如图，坐标平面内有两个点A和B其中点A的坐标为（x ，y ），点B的坐标为
（x ，y ），求AB的中点C的坐标
【知识拓展】
在上图中，点A的坐标为（4，5），点B的坐标为（－6，－1），分别在x轴和y轴上找一点C和D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求出点C和点D的坐标．
2011年天津中考模拟题
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．D； 2．D； 3．C；4．C；5．C； 6．C；7．B；8．C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．y＝－x＋2等； 10．x ＝0，x ＝5； 11． ； 12．90°； 13． ； 14．
15．90；16．
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
17．解：原式＝ －1 ．．．．．．．．．．．．．．．4分
＝ －1
＝－7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
18．计算：
解：原式＝ ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
19．（1）证明：
∵E为BC的中点
∴BE＝CE
∵AB∥CD
∴∠BAE＝∠F ∠B＝∠FCE
∴△ABE≌△FCE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）
解：由（1）可得：△ABE≌△FCE
∴CE＝AB＝15，CE＝BE＝8，AE＝EF
∵∠B＝∠BCF＝90°
根据勾股定理得AE＝17
∴AF＝34．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
20．解：原方程可化为
｜x｜ －3｜x｜＋2＝0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴（｜x｜－1）（｜x｜－2）＝0
∴｜x｜＝1或｜x｜＝2
∴x＝1，x＝－1，x＝2，x＝－2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
四．（每小题10分，共20分）
21．
解：（1）矩形；（2）菱形，（3）正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（4）小青说的不正确
如图，四边形ABCD中AC⊥BD，AC＝BD，BO≠DO，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点
显然四边形ABCD不是正方形
但我们可以证明四边形ABCD是正方形（证明略）
所以，小青的说法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
22．
解：（1）10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）90分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（3）89分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（4）89×10％＋90×30％＋96×60％＝93.5
李刚的总评分应该是93.5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23． 小强和小亮的说法是错误的，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
不妨设小明首先抽签，
画树状图
由树状图可知，共出现6种等可能的结果，其中小明、小亮、小强抽到A签的情况都有两种，概率为 ，同样，无论谁先抽签，他们三人抽到A签的概率都是 ．
所以，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
24．解：（1）作BD⊥AC于点D
由题意可知：AB＝30×1＝30，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°
在Rt△ABD中
∵AB＝30，∠BAC＝30°
∴BD＝15，AD＝ABcos30°＝15
在Rt△BCD中，
∵BD＝15，∠BCD＝45°
∴CD＝15，BC＝15
∴AC＝AD＋CD＝15 ＋15
即A、C间的距离为（15 ＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
∵AC＝15 ＋15
轮船乙从A到C的时间为 ＝ ＋1
由B到C的时间为 ＋1－1＝
∵BC＝15
∴轮船甲从B到C的速度为 ＝5 （海里／小时）
答：轮船甲从B到C的速度为5 海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
七、
25．解：（1）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线x＝2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（1）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（－1，0）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（3）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线经过（－1，0），那么抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；
由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，－8），且经过点（－1，0）
设抛物线的解析式为：y＝a（x－1） －8
∵抛物线过点（－1，0）
∴0＝a（－1－1） －8
解得：a＝2
∴抛物线的解析式为y＝2（x－1） －8
即：y＝2x －4x－6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
八、（本题14分）
26． 【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G
∵AH∥EF∥DG，AD∥GH
∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形
∴FH＝AE，FG＝DE
∵AE＝DE
∴FG＝FH
∵AB∥DG
∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B
∴△CFG≌△BFH
∴FC＝FB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
【知识应用】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BP⊥x轴于点P
则点P的坐标为（x ，0），点N的坐标为（x ，0）
由探究的结论可知，MN＝MP
∴点M的坐标为（ ，0）
∴点C的横坐标为
同理可求点C的纵坐标为
∴点C的坐标为（ ， ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
【知识拓展】
当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，y）
由上面的结论可知：－6＋a＝4＋0，－1＋0＝5＋b
∴a＝10，b＝－6
∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6）
同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的负半轴时
求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6）
当AB是对角线时
点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
数 学 试 卷
*考试时间120分钟 试卷满分150分
一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，将正确答案的序号填在题后的括号内，每小题3分，共24分）
1．| |＝（ ）
A． B． C．－ D．
2．如果一个四边形ABCD是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ）
A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
3． 下面四个数中，最大的是（ ）
A． B．sin88° C．tan46° D．
4．如图，一个小圆沿着一个五边形的边滚动，如果五边形的各边长都和小圆的周长相等，那么当小圆滚动到原来位置时，小圆自身滚动的圈数是（ ）
A．4 B．5 C．6 D．10
5．二次函数y＝（2x－1） ＋2的顶点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（1，－2） C．（ ，2） D．（－ ，－2）
6．足球比赛中，胜一场可以积3分，平一场可以积1分，负一场得0分，某足球队最后的积分是17分，他获胜的场次最多是（ ）
A．3场 B．4场 C．5场 D．6场
7． 如图，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，如果△CDE的面积为3，△BCE的面积为4，△AED的面积为6，那么△ABE的面积为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8． 如图，△ABC内接于⊙O，AD为⊙O的直径，交BC于点E，
若DE＝2，OE＝3，则tanC•tanB＝ （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．写出一条经过第一、二、四象限，且过点( ， )的直线解析式 .
10．一元二次方程x ＝5x的解为 ．
11． 凯恩数据是按照某一规律排列的一组数据，它的前五个数是： ，按照这样的规律，这个数列的第8项应该是 ．
12．一个四边形中，它的最大的内角不能小于 ．
13．某学习小组中共有12名同学，其中男生有7人．现在要从这12名同学中抽调两名同学去参加数学知识竞赛，抽调的两名同学都是男生的概率是 ．
14． 如图，△ABC中，BD和CE是两条高，如果∠A＝45°，则 ＝ ．
15．如图，已知A、B、C、D、E均在⊙O上，且AC为
⊙O的直径，则∠A＋∠B＋∠C＝__________度．
16．如图，矩形ABCD的长AB＝6cm，宽AD＝3cm.
O是AB的中点，OP⊥AB，两半圆的直径分别为AO
与OB．抛物线y＝ax 经过C、D两点，则图中阴影部分
的面积是 cm2.
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
17．计算：
18．计算：
19．已知：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．
（1）求证：△ABE≌△FCE ；
（2）若BC⊥AB，且BC＝16，AB＝17，求AF的长．
20．观察下面方程的解法
x －13x ＋36＝0
解：原方程可化为（x －4）（x －9）＝0
∴（x＋2）（x－2）（x＋3）（x－3）＝0
∴x＋2＝0或x－2＝0或x＋3＝0或x－3＝0
∴x ＝2，x ＝－2，x ＝3，x ＝－3
你能否求出方程x －3｜x｜＋2＝0的解？
四、（每小题10分，共20分）
21．
（1）顺次连接菱形的四条边的中点，得到的四边形是 ．
（2）顺次连接矩形的四条边的中点，得到的四边形是 ．
（3）顺次连接正方形的四条边的中点，得到的四边形是 ．
（4）小青说：顺次连接一个四边形的各边的中点，得到的一个四边形如果是正方形，那么原来的四边形一定是正方形，这句话对吗？请说明理由．
22． 下面的表格是李刚同学一学期数学成绩的记录，根据表格提供的信息回答下面的问题
（1）李刚同学6次成绩的极差是 ．
（2）李刚同学6次成绩的中位数是 ．
（3）李刚同学平时成绩的平均数是 ．
（4）如果用右图的权重给李刚打分，他应该得多少分？
（满分100分，写出解题过程）
五、（本题12分）
23．小明，小亮和小强都积极报名参加校运动会的1500米比赛，由于受到参赛名额的限制，三人中只有一人可以报名，体委权衡再三，决定用抽签的方式决定让谁参加。
他做了3张外表完全相同的签，里面分别写了字母A，B，C，规则是谁抽到“A”，谁就去参赛，小亮认为，第一个抽签不合算，因为3个签中只有一个“A”，别人抽完自己再抽概率会变大。
小强认为，最后抽不合算，因为如果前面有人把“A”抽走了，自己就没有机会了。
小明认为，无论第几个抽签，抽到A的概率都是 。
你认为三人谁说的有道理？请说明理由．
六、（本题12分）
24． 甲、乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度沿着北偏东60°的方向航行，乙轮船以每小时15海里的速度沿着正北方向行进，1小时后，甲船接到命令要与乙船会和，于是甲船改变了行进的速度，沿着东南方向航行，结果在小岛C处与乙船相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：
（1）港口A与小岛C之间的距离
（2）甲轮船后来的速度．
七、（本题12分）
25． 王老师给出了一个二次函数的若干特点，要求甲、乙、丙三名同学按照这些特点求出它的解析式并画出它的图像，然后根据图像再说出一些特征．
甲同学首先求出解析式、画完图像并回答，他说：①抛物线的顶点为（1，－8）；②抛物线与y轴的交点在x轴的下方； ③抛物线开口向上；
乙同学第二个求出解析式并画出图像，他回答： ①抛物线的对称轴为直线x＝1； ②抛物线经过四个象限；③抛物线与x轴的两个交点间的距离为6；
丙同学最后一个完成任务，他说了他的看法：①甲、乙的各种说法都不对；②抛物线过（－1，5）和（5，5）；③抛物线不过（－1，0）．
王老师听了他们的意见，作出了评价，他说：“与正确的函数的图像比较，你们三个人中，有一个人三句话都回答正确了，还有一个同学有两句话是对的，另外一个同学很遗憾，回答得都不对”
请你根据王老师的评价，分析一下，哪一位同学的说法都是正确的，并根据正确的说法，求出这条抛物线的解析式．
八（本题14分）
26．
【探究】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，E为AD的中点，若EF∥AB
求证：BF＝CF
【知识应用】
如图，坐标平面内有两个点A和B其中点A的坐标为（x ，y ），点B的坐标为
（x ，y ），求AB的中点C的坐标
【知识拓展】
在上图中，点A的坐标为（4，5），点B的坐标为（－6，－1），分别在x轴和y轴上找一点C和D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求出点C和点D的坐标．
2011年天津中考模拟题
数学试题参考答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．D； 2．D； 3．C；4．C；5．C； 6．C；7．B；8．C．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．y＝－x＋2等； 10．x ＝0，x ＝5； 11． ； 12．90°； 13． ； 14．
15．90；16．
三、（第17小题6分，第18、19小题各8分，第20小题10分，共32分）
17．解：原式＝ －1 ．．．．．．．．．．．．．．．4分
＝ －1
＝－7 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
18．计算：
解：原式＝ ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
19．（1）证明：
∵E为BC的中点
∴BE＝CE
∵AB∥CD
∴∠BAE＝∠F ∠B＝∠FCE
∴△ABE≌△FCE．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（2）
解：由（1）可得：△ABE≌△FCE
∴CE＝AB＝15，CE＝BE＝8，AE＝EF
∵∠B＝∠BCF＝90°
根据勾股定理得AE＝17
∴AF＝34．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
20．解：原方程可化为
｜x｜ －3｜x｜＋2＝0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分
∴（｜x｜－1）（｜x｜－2）＝0
∴｜x｜＝1或｜x｜＝2
∴x＝1，x＝－1，x＝2，x＝－2 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
四．（每小题10分，共20分）
21．
解：（1）矩形；（2）菱形，（3）正方形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（4）小青说的不正确
如图，四边形ABCD中AC⊥BD，AC＝BD，BO≠DO，E、F、G、H分别为AD、AB、BC、CD的中点
显然四边形ABCD不是正方形
但我们可以证明四边形ABCD是正方形（证明略）
所以，小青的说法是错误的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
22．
解：（1）10分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）90分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
（3）89分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（4）89×10％＋90×30％＋96×60％＝93.5
李刚的总评分应该是93.5分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分
23． 小强和小亮的说法是错误的，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
不妨设小明首先抽签，
画树状图
由树状图可知，共出现6种等可能的结果，其中小明、小亮、小强抽到A签的情况都有两种，概率为 ，同样，无论谁先抽签，他们三人抽到A签的概率都是 ．
所以，小明的说法是正确的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
24．解：（1）作BD⊥AC于点D
由题意可知：AB＝30×1＝30，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°
在Rt△ABD中
∵AB＝30，∠BAC＝30°
∴BD＝15，AD＝ABcos30°＝15
在Rt△BCD中，
∵BD＝15，∠BCD＝45°
∴CD＝15，BC＝15
∴AC＝AD＋CD＝15 ＋15
即A、C间的距离为（15 ＋15）海里．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（2）
∵AC＝15 ＋15
轮船乙从A到C的时间为 ＝ ＋1
由B到C的时间为 ＋1－1＝
∵BC＝15
∴轮船甲从B到C的速度为 ＝5 （海里／小时）
答：轮船甲从B到C的速度为5 海里／小时．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
七、
25．解：（1）老师说，三个同学中，只有一个同学的三句话都是错的，所以丙的第一句话和老师的话相矛盾，因此丙的第一句话是错的，同时也说明甲、乙两人中有一个人是全对的；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分
（2）如果丙的第二句话是正确的，那么根据抛物线的对称性可知，此抛物线的对称轴是直线x＝2，这样甲的第一句和乙的第一句就都错了，这样又和（1）中的判断相矛盾，所以乙的第二句话也是错的；根据老师的意见，丙的第三句也就是错的．也就是说，这条抛物线一定过点（－1，0）；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分
（3）由甲乙的第一句话可以断定，抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线经过（－1，0），那么抛物线与x轴的两个交点间的距离为4，所以乙的第三句话是错的；
由上面的判断可知，此抛物线的顶点为（1，－8），且经过点（－1，0）
设抛物线的解析式为：y＝a（x－1） －8
∵抛物线过点（－1，0）
∴0＝a（－1－1） －8
解得：a＝2
∴抛物线的解析式为y＝2（x－1） －8
即：y＝2x －4x－6．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分
八、（本题14分）
26． 【探究】证明：过点F作GH∥AD，交AB于H，交DC的延长线于点G
∵AH∥EF∥DG，AD∥GH
∴四边形AHFE和四边形DEFG都是平行四边形
∴FH＝AE，FG＝DE
∵AE＝DE
∴FG＝FH
∵AB∥DG
∴∠G＝∠FHB，∠GCF＝∠B
∴△CFG≌△BFH
∴FC＝FB．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分
【知识应用】过点C作CM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BP⊥x轴于点P
则点P的坐标为（x ，0），点N的坐标为（x ，0）
由探究的结论可知，MN＝MP
∴点M的坐标为（ ，0）
∴点C的横坐标为
同理可求点C的纵坐标为
∴点C的坐标为（ ， ）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分
【知识拓展】
当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的正半轴时，AD与BC互相平分，设点C的坐标为（a，0），点D的坐标为（0，y）
由上面的结论可知：－6＋a＝4＋0，－1＋0＝5＋b
∴a＝10，b＝－6
∴此时点C的坐标为（10，0），点D的坐标为（0，－6）
同理，当AB是平行四边形一条边，且点C在x轴的负半轴时
求得点C的坐标为（－10，0），点D的坐标为（0，6）
当AB是对角线时
点C的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，4）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．14分
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