Question

设函数f(x)=x^2+ax-lnx.

(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线 ，求切点横坐标
（2）a=-1时，若f(x)=B/X有实根，求B最小值

Answer 1

f'(x)=2x+a-1/x
对于切点(x1,y1)
y-y1=f'(x1)(x-x1) [y1=x1^2+ax1-lnx1]
y-x1^2-ax1+lnx1=f'(x1)(x-x1)
由于原点所以
y1=x1f'(x1)=x1^2+ax1-lnx1 =x1*[2x1+a-1/x1]
x1^2 -1=-lnx1
x1=1
切点为(1,1+a)
(2)令g(x)=f(x)-B/X
g'(x)=f'(x)+b/x^2
=2x-1-1/x +b/x^2=0 [方程有实根才能为0]
2x^3-x^2-x+b=0
b=-2x^3+x^2+x
b'=-6x^2+2x+1=0
x=(-1+根号7)/(-6) (x>0) [还有一个值(1+根号7)/6]
所以最小值 (-1+根号7)/(-6)=(根号7-1)/6