Question

斐波那契数列a<n+2>=a<n+1>+a<n> 为什么它的特征方程就是 x^2=x+1 x^2表示x的平方

Answer 1

我给出了一般的二阶递推关系得到特征方程的思路。见图。希望对你有帮助。

Answer 2

随着斐波那契数列列数的增加，其每一项与后一项的比值越来越接近于黄金分割数0.618。这个刚好就是黄金方程 x^2=x+1的解。

Answer 3

1、先明确特征方程怎么来的：
对一个数列:X(n+2)=C1X(n+1)+C2X(n)
设r，s使X(n+2)-rX(n+1)=s[X(n+1)-rXn]
所以X(n+2)=(s+r)X(n+1)-srXn C1=s+r C2=-sr
消去s就导出特征方程式 r*r-C1*r-C2=0
对于本题，就是：x^2=x+1
2、特征方程有什么用？
通项比较明显的数列属于少数，多数数列只是存在递推关系，因此，研究了如何使用特征方程来推导出数列的通项，斐波那契数列只是其中一例，它的通项可以写为：
An=(1/根5)（((1+根5)/2)^n-((1-根5)/2)^n）
这里只给出结果，详细的你可以参阅百度文库里关于递推数列通项公式求法的相关文章。