Question

下一个分数的分子是上个分数的分母并这样进行连加,有什么规律简算如11/14+14/17+17/20+20/23+23/26+26/29

11/14+14/17+17/20+20/23+23/26+26/29＝？

Answer 1

题：下一个分数的分子是上个分数的分母并这样进行连加,有什么规律简算如11/14+14/17+17/20+20/23+23/26+26/29=?
解：以上涉及到一个等差数列：11,14,17,20,23,26,29
易见上式=-3/14+1-3/17+1+...-3/29+1
=-3(1/14+1/17+1/20+1/23+1/26+1/29)+6
其中1/14+1/17+...+1/29这样，分子为1，分母为等差数列的级数，其数值的精确计算，并没有初等的简捷方法。其估算法，建议参考数值逼近方法相关著作。

如果的涉及到等比数列，如1,3,9,27,81,243
得到：1/3+3/9+9/27+27/81+81/243，就容易计算了，略。

其他数列，看情况。前面我们看到了，连一个等差数列都是不太方便的呀。

相关知识：注意，调和级数、黎曼zeta函数、p级数，三个概念关系密切，内容有交集。
一、调和级数，广义调和级数
二、黎曼zeta函数。
三、p级数简介：
形如 1+1/2^p+1/3^p+…+1/n^p+… （p>0）的级数称为p级数。
当p=1时，得到著名的调和级数：1+1/2+1/3+…+1/n+… 。
p级数是重要的正项级数，它是用来判断其它正项级数敛散性的重要级数。
p级数的敛散性如下：
当p>1时，p级数收敛；
当1≥p>0时，p级数发散。
交错p级数
形如 1-1/2^p+1/3^p-1/4^p+…+(-1)^(n-1)*1/n^p+… （p>0）的级数称为交错p级数。
交错p级数是重要的交错级数。
交错p级数的敛散性如下：
当p>1时，交错p级数绝对收敛；
当1≥p>0时，交错p级数条件收敛。
例如，交错调和级数1-1/2+1/3-1/4+…+(-1)^(n-1)*1/n+… 条件收敛，其和为ln2。

外一则：
题一：
11/14
(11/14+14)/17
((11/14+14)/17+17)/20
(((11/14+14)/17+17)/20+20)/23
((((11/14+14)/17+17)/20+20)/23+23)/26
(((((11/14+14)/17+17)/20+20)/23+23)/26+26)/29

题二：
11/14
11/(14+14/17)
11/(14+14/(17+17/20))
11/(14+14/(17+17/(20+20/23)))
11/(14+14/(17+17/(20+20/(23+23/26))))
11/(14+14/(17+17/(20+20/(23+23/(26+26/29)))))