Question

一道数学题求学霸帮忙要具体过程

Answer 1

解：（1）∵f（x）=（1+x）t-1
∴f'（x）=t（1+x）x-1，
∴f'（0）=t，
又f（0）=0，
∴l的方程为：y=tx

（2）令h（x）=f（x）-g（x）=（1+x）t-tx-1h'（x）=t（1+x）t-1-t=t[（1+x）t-1-1]
当t＜0时，（1+x）t-1-1单调递减，
当x=0时，h'（x）=0
当x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=0是h（x）的唯一极小值点，
∴h（x）≥h（0）=0，f（x）≥g（x）恒成立
当0＜t＜1时，（1+x）t-1-1单调递减，
当x=0时，h'（x）=0
当x∈（-1，0），h'（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（0，+∞），h'（x）＜0，h（x）单调递减．
∴x=0是h（x）的唯一极大值点，
∴h（x）≤h（0）=0，不满足f（x）≥g（x）恒成立
当t＞1时，（1+x）t-1-1单调递增，
当x=0时，h'（x）=0
当x∈（-1，0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增．
∴x=0是h（x）的唯一极小值点，
∴h（x）≥h（0）=0，f（x）≥g（x）恒成立；
综上，t∈（-∞，0）∪（1，+∞）

证明：（3）当a1=a2，不等式显然成立；…9'
当a1≠a2时，不妨设a1＜a2
则a1a1+a2a2＞a1a2+a2a1⇔a1a1−a1a2＞a2a1−a2a2
令φ(x)＝xa1−xa2，x∈[a1，a2]
下证φ（x）是单调减函数：
∵φ′(x)＝a1xa1−1−a2xa2−1＝a1xa2−1(xa1−a2−
a2
a1
)
易知a1-a2∈（-1，0），1+a1-a2∈（0，1），
1
1+a1−a2
＞1
由（2）知当t＞1，（1+x）t＞1+tx，x∈[a1，a2]
∴
a
1
1+a1−a2
2

＝[1+(a2−1)]
1
1+a1−a2
＞1+
a2−1
1+a1−a2
＝
a1
1+a1−a2
＞a1
∴a2＞
a
1+a1−a2
1

∴
a2
a1
＞
a
a1−a2
1

≥xa1−a2
∴φ'（x）＜0，
∴φ（x）在[a1，a2]上单调递减．
∴φ（a1）＞φ（a2），
即a1a1−a1a2＞a2a1−a2a2
∴a1a1+a2a2＞a1a2+a2a1．
综上，a1a1+a2a2≥a1a2+a2a1成立

http://www.jyeoo.com/math2/ques/detail/90e46ccf-1dea-4aa5-9e1d-46fd9ce1367a
希望帮到你