Question

如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是（ ）。

Answer 1

在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是？解：过D作DP⊥AB ，P为垂足；再将DP 延长一倍至F，使PF=DP；连接CF与AB相交于E，那么这个位置就是使EC+ED最小的位置；此时：EC+ED=EC+EF=CF=√[CD²+DF²-2CD×DFcos∠CDF]其中，CD=1，DF=2DP=2DBcos45°=√2，cos∠CDF=cos135°=-cos45°=-√2/2，代入上式即得：(EC+ED)min=CF=√[1+2+2×1×(√2)×(√2)/2]=√(1+2+2)=√5下面证明√5是EC+ED的最小值。现在偏离所取的位置在AB上任找一点E′，连接CE′，DE′，FE′，按作图法，AB是DF的垂直平分线，故CE′+DE′=CE′+FE′>CF=√5(CE′E是三角形，三角形两边之和必大于第三边).