Question

线性代数，第五题求证，用第四题的方法证不来，求指导细节

Answer 1

(β1,β2,...,βs)=(α1,α2,...,αs)C，矩阵C=
1 0 ... 0 1
1 1 ... 0 0
0 1 ... 0 0
...............
0 0 ... 1 0
0 0 ... 1 1
矩阵C是s阶方阵，其行列式|C|=1-(-1)^s。
当s为偶数时，C不可逆，所以r(β1,β2,...,βs)≤r(C)＜s，所以β1,β2,...,βs线性相关。
当s为奇数时，C可逆，所以r(β1,β2,...,βs)=r(α1,α2,...,αs)=s，所以β1,β2,...,βs线性无关。

追问

1-(-1)^s不理解

追答

行列式按照第一列展开

Answer 2

设 存在一组 ki , i = [1 , 2 ... s]
使得 k1β1 + k2β2 + ... + ksβs = 0
又β1 = a1 + a2 ... 代入上式化简得到
a1(k1 + ks) + a2(k1 + k2) + ... + as(k(s-1) + ks) = 0
因为 a1,a2,a3...as线性无关
所以 k1 + k2 = 0
k2 + k3 = 0
...
k1 + ks = 0
系数行列式|A|为
|1 1 0 0 ... 0 0|
|0 1 1 0 ... 0 0|
|0 0 1 1 ... 0 0|
...
|1 0 0 0 ... 0 1|
展开第一列算得
|A| = 1 + (-1)^(1+s)
当s为偶数时，|A| = 0 , 行列式有非零解，所以βi线性相关
当s为奇数时，|A| = 2 , 行列式只有零解，所以βi线性无关