Question

对角线互相平分的四边形是菱形吗？

今天上数学课学菱形时一同学提出：对角线互相平分的四边形是菱形吗？有一同学证明出来了。但我查过课本上、百科都没有这条性质，不知该同学证明是否合理？若不合理，请举出反例并证明。
该同学证明如下：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A、∠C，对角线BD平分∠B、∠D。AC、BD交于O。由∠ABO=∠OBC，BD=DB，∠ADO=∠ODC，证得△ABD全等△BCD。之后又证得△ABC全等△ACD。因此根据全等三角形各种性质证得四边形ABCD为菱形。（由于小弟实在对此证明及其命题的真假充满好奇，望大家帮助小弟揭开迷惑，谢谢！）
由于小弟仓促出错，此题的条件并不是“对角线互相平分”，而是角平分线互相平分。

Answer 1

你理解错了
对角线互相平分的四边形是平行四边形，不一定是菱形

他证明的不是这个，而是“两条对角线分别平分一组对角的四边形，是菱形”
这个命题是真命题，是对的.

追问

嗯，那可是对角线并不互相垂直也对么？

追答

他的证明可以得到四条边相等，对角线是互相垂直的

追问

小弟粗心忘记写错此条件，请原谅！此题的条件并不是“对角线互相平分”，而是角平分线互相平分。希望能为小弟解开迷惑，谢谢！

追答

呵呵，不会吧，如果是角平分线互相平分，就是假命题了.

追问

也就是说在普通四边形中，两条对角线互相平分两组对角即为菱形？

追答

是的

Answer 2

此证明没有错，但是此题的条件并不是“对角线互相平分”，而是角平分线互相平分

追问

对，小弟粗心忘记写错此条件，多谢改正！

追答

“角平分线互相平分的四边形”是对的，因为一个三角形的中线与角平分线是同一条线的话，那它的垂线也就是它的高也是那条线，就是说此三角形三线合一，那他必然就是等腰三角形。

Answer 3

证明过程不对。但是对角线互相平分的四边形是菱形这句话不一定是对的。在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于O。由∠AOB=∠DOC，OA=OC,OB=OD，证得△ABO全等△OCD。同理，证明△ABC全等△ACD。因此根据全等三角形各种性质证得四边形ABCD为平行四边形。对角线垂直且平分的四边形为菱形 。

追问

额...OA不等于OC，OB不等于OD。ABCD只是普通的四边形= =

Answer 4

菱形判定定理　　① 四条边相等的四边形是菱形 　　② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 　　③ 一组邻边相等的平行四边形是菱形 　　④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形。

Answer 5

解答：

对角线垂直且平分的四边形为菱形，你所说的四边形仅为平行四边形而不一定是菱形