Question

直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x－√3y＝4相切，若直线l:y＝kx＋4与圆O相

直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线x－√3y＝4相切，若直线l:y＝kx＋4与圆O相交于M（a，b），N（c，d），且满足ac＋bd＝4／3，求直线l的方程

Answer 1

因为 原点(0, 0)到已知直线x-√3y-4=0的距离为 4/√(1+3)=2
所以 圆O半径为2
即 圆方程为 x^2+y^2=4

将直线L方程代入圆方程，得：x^2+(kx+4)^2=4
化简，得：(k^2+1)x^2+8kx+12=0
所以 M、N点的横坐标就是化简所得方程的两根
根据韦达定理，有x1*x2=12/(k^2+1)，即 ac=12/(k^2+1)
所以 bd=y1*y2
=(kx1+4)*(kx2+4)
=k^2(x1*x2)+4k(x1+x2)+16
=12k^2/(k^2+1)-32k^2/(k^2+1)+16
=(16k^2+16-20k^2)/(k^2+1)
=(16-4k^2)/(k^2+1)
由题意，(12+16-4k^2)/(k^2+1)=4/3
所以 (7-k^2)/(k^2+1)=1/3
所以 21-3k^2=k^2+1
所以 k^2=5
所以 k=±√5
L方程为(两条)：y=±√5x+4

验算：把所得L方程代入圆方程：x^2+5x^2±8√5x+16=4
3x^2±4√5x+6=0
解得 M( (2√5+√2)/3, (2-√10)/3 ), N( (2√5-√2)/3, (2+√10)/3 )
或者 M( (-2√5+√2)/3, (2+√10)/3), N( (-2√5-√2)/3, (2-√10)/3 )
所以 ac=2, bd=-2/3

所以 ac+bd=4/3 符合题设条件

Answer 2

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