Question

函数求其单调性通常有几种方法？

Answer 1

首先,最常用的就是导数法,利用定义证明函数y=f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤： （1）任取x1，x2∈D，且x1<x2； （2）作差f(x1)－f(x2)； （3）变形（通常是因式分解和配方）； （4）定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）； （5）下结论（即指出函数 f(x) 在给定的区间D上的单调性）。 但是,如果复合函数的话 可以把函数化成几个单一的函数。 比如说y=4/(x+5) 我们可以看成是y=5/x 和y=x+5两个函数的复合,然后分别确定两个函数的单调区间，当然前边那个只是举例，事实上一般都比那个复杂。 确定完单一函数的单调区间后取交集,比如：第一个单一函数的单调区间是 （3，6）递增，[6，12）递减，（13，15）递增（假设这就是定义域） 第二个函数的单调区间是（3，12）单调递减，（13，15）递增 那么我们就要取他们的单调交集 因为第二个函数的递减区间是（3，12） 而第一个正好是（3，6）和[6,12) 那么就可以直接划分成（3，6），[6,12)，（13，15）三个集合 第一个集合是增减（即第一个函数是增，第2个函数是减） 依此类推，第二个集合是减减，第三个增增 有一个定理是复合函数的单调性是 增增得增 减减得增 增减得减 其实就是正负号相乘，正正得正，负负得正 关键在于找到单一函数和取对交集 最后,说明： 1、讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必 须先确定函数的定义域， 2、函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有 增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间 上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括 不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点。 希望对你有帮助.