Question

若二次函数f(x)=ax²+bx+c(c≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1.

若二次函数f(x)=ax²+bx+c(c≠0)满足f(x+1)-f(x)=2x,且f(0)=1. (1)若在区间x∈[-1,1], 不等式f(x)>2x+m恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

f(x+1)=f(x)+2x

f(0)=1
1=c
f(1)=f(0)
a+b+1=1==>b=-a
f(x)=ax^2-ax+1
在f(x+1)=f(x)+2x中，令x= - 1
f(0)=f(-1)-2
f(-1)=3
2a+1=3
a=1
f(x)=x^2-x+1
m<f(x)-2x
m<x^2-3x+1,在x∈[-1,1]上恒成立是恒小问题，恒小就是左边的m比右边的最小值还要小；
而右边
y=x^2-3x+1这条抛物线的开口向上，对称轴：x=3/2,所以函数，
y=x^2-3x+1在[-1,1] 上是减函数，
y(min)=y(1)=-1
所以，
m<-1