Question

利用函数的单调性 证明下列不等式

1.e×>1+x， x不等于0
2. Lnx<x<e×, x>0 求详细过程，多谢！

Answer 1

1.令f(x)=e^x-x-1
则f'(x)=e^x-1
由f'(x)=0得x=0,
f(0)=0为极小值，它也为最小值
因此当x不为0时，有f(x)>f(0)=0
即e^x>1+x

2.
令f(x)=x-lnx
f'(x)=1-1/x=(x-1)/x
得x=1为极小值，同时也是最小值
f(1)=1
所以有f(x)>1>0,即x>lnx

再令g(x)=e^x-x
则g'(x)=e^x-1, 当x>0时，有g'(x)>0
即g(x)单调增
g(0)=1
所以有g(x)>1>0,即e^x>x

故综合得当x>0时，有lnx<x<e^x