Question

求两个三角形面积比

已知ABCD是梯形，AB平行DC，对角线AC,BD交于E,三角形DCE的面积与三角形CEB的面积比为1：3，求三角形DCE的面积与三角形ABD的面积比。

Answer 1

三角形DCE的面积与三角形CEB的面积比为1：3，那么
三角形DCE的面积与三角形DCB的面积比为1：4，而这两个三角形同底，则高之比就是1：4.
三角形DCB的高就是梯形的高。
又由DCE与ABE相似，两个三角形的高组成了梯形的高，再联系上面就可以得知三角形DCE与ABE相似比为1：（4-1）=1：3，则DC:AB=1:3
综上所述，三角形DCE与ABD的底（DC,AB）之比为1：3，高之比1：4，所以面积比为1：12

Answer 2

分别将DC延长至FD点，AB延长至H点，过E点作DC的平行线，交FH与G点; 设S⊿DCE= S，FG=h1，GH=h2，FH=h。因为S⊿DCE：S⊿CEB = 1：3，S⊿DCE= S；所以，S⊿CEB =3S因为FG=h1，GH=h2，FH=h，所以，h1+h2=h；由提题意可知：S⊿DCB=S⊿DCE+S⊿CEB= S+3S=4SS⊿DCE=DC×h1÷2=S；那么可得，DC×h1=2S；或DC＝2S÷h1；S⊿DCB=DC×(h1+h2)÷2=4S，那么，2S÷h1×(h1+h2)÷2=4S (h1+h2)÷h1=4 1+h2÷h1=4 h2=3×h1 依据平行线的规律，可知道，DC：AB = h1 ：h2，另外已求得h2=3×h1 DC：AB = h1 ：3×h1 DC：AB = 1 ：3 AB = 3×DC；S⊿ABE=AB×h2÷2 =3×DC×3×h1 ÷2 =9×DC×h1 ÷2 （因为前面已得知：DC×h1=2S） =9×2S÷2 =9SS⊿ACD= S⊿BCD =DC×h ÷2 ；那么 ，S⊿ACD-S⊿DCE= S⊿BCD -S⊿DCE S⊿AED= S⊿CEB =3S S⊿ABD= S⊿ABE+S⊿AED =9S+3S =12SS⊿DCE= S，那么：S⊿ABD：S⊿DCE = 12S ：S = 12：1

Answer 3

△DCE：△CEB=1:3，所以DE：EB=1:3，从而△DAE：△AEB=1:3；
△ADC=△BDC（同底等高），同时减去△DCE，所以△DAE=△CEB
设△AEB=3S，则△CEB=△DAE=S，△DCE=S/3
所以△DCE：△ABD=S/3：（S+3S）=1:12

Answer 4

S△DCE：S△CEB=DE:EB=1:3
AB∥CD =>CE:EA=DE:EB=1:3 => S△DCE:S△DAE=CE:EA=1:3
S△DAE：S△ABD=DE:DB=1:4
则S△DCE：S△ABD=1:12