一道高数定积分问题

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无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
2014-01-04 · 知道合伙人教育行家
无脚鸟╰(⇀‸↼)╯
知道合伙人教育行家
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现在为上海海事大学学生,在学习上有一定的经验,擅长数学。

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解:

楼上解得很好,我估计你是新手

楼上的(cosx)^n在(0,π/2)积分的结果

或者奇函数在关于原点对称的区间上积分,积分结果为零,还不清楚

我献上一种笨办法,这应该会让你搞懂的

hql______
2014-01-04 · TA获得超过3.6万个赞
知道大有可为答主
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三角换元,令x=3sint,t∈(-π/2,π/2)

原式=

追问
第二步怎么跳到第三步的,请给出详细过程,谢谢。
追答
前面一项是奇函数在关于原点对称的区间上积分,积分结果为零。
后面一项是偶函数,转化为2倍的在(0,π/2)积分
利用(cosx)^n在(0,π/2)积分的结果,n=2时,积分值为π/4,
所以2*36*π/4=18π

再介绍一种方法,可以不换元,直接算,利用定积分几何意义。
将前面的括号打开,变成(-π/2,π/2)上x³√(9-x²)积分+(-π/2,π/2)上4√(9-x²)积分
前一项是奇函数在关于原点对称的区间上积分,积分结果为零。
后一项用几何意义,表示以原点为圆心,3为半径的半圆面积的4倍,为4*1/2*π*3²=18π
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