Question

一道高数定积分问题

求详细解答。

Answer 1

解：

楼上解得很好，我估计你是新手

楼上的(cosx)^n在（0,π/2）积分的结果

或者奇函数在关于原点对称的区间上积分，积分结果为零，还不清楚

我献上一种笨办法，这应该会让你搞懂的

Answer 2

三角换元，令x=3sint，t∈（-π/2,π/2）

原式=

追问

第二步怎么跳到第三步的，请给出详细过程，谢谢。

追答

前面一项是奇函数在关于原点对称的区间上积分，积分结果为零。
后面一项是偶函数，转化为2倍的在（0,π/2）积分
利用(cosx)^n在（0,π/2）积分的结果，n=2时，积分值为π/4，
所以2*36*π/4=18π

再介绍一种方法，可以不换元，直接算，利用定积分几何意义。
将前面的括号打开，变成（-π/2，π/2）上x³√（9-x²）积分+（-π/2，π/2）上4√（9-x²）积分
前一项是奇函数在关于原点对称的区间上积分，积分结果为零。
后一项用几何意义，表示以原点为圆心，3为半径的半圆面积的4倍，为4*1/2*π*3²=18π