Question

高等数学常微分方程的问题

二阶常系数非齐次线性微方程用待定系数法来求解
设原方程的一个特解为 y*=(x^k)Qm(x)e^(λx) 由于刚学这部分所以对此理解不全 如果方程为：y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x 问：
此题中特征根r1=r2=-2 λ=1 k=1 那么设特解的形式是根据λ来确定的还是根据k来确定的？我之前做了几题 发现k提交问题=1 就设特解为Ax(e^λx) k=2就设特解为x（ax+b）(e^λx) 。。。和λ是多少没关系啊 那么λ是用来干什么的？总之书上好像是根据λ是否等于特征根来决定特解形式的 郁闷。。。
求解y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x 的特解 尤其是怎么将特解带入原方程的计算过程 请不要跳步 我算了半天都和树上的答案不一样 它的结果我都不知道是怎么来的。。。

Answer 1

设特解为y*=(Ax^2+Bx+C)e^x
则y*'=(Ax^2+(2A+B)x+(B+C))e^x
y*''=(Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C))e^x
所以Ax^2+(4A+B)x+(2A+2B+C)+4Ax^2+(8A+4B)x+(4B+4C)+4Ax^2+4Bx+4C=2x^2
所以9A=2,12A+9B=0,2A+6B+9C=0
所以A=2/9,B=-8/27,C=4/27
所以y*=(2/9*x^2-8/27*x+4/27)e^x
（其实我个人设特解的时候是靠感觉的……）

Answer 2

常微分方程待定系数法不用太纠结，以后要解这种方程是不会用这种待定系数法来解的，全都用拉普拉斯变换来解，如果理解不了，记住就好，应付考试足够了，以后只要会用拉氏变换解才是实用的。

Answer 3

k的取值由λ决定。如果λ不是齐次方程的特征方程的根，k=0；如果λ是齐次方程的特征方程的单根，k=1；如果λ是齐次方程的特征方程的重根，k=2。当k的值确定了之后，特解的形式自然确定了。
对于y’‘+4y’+4y=(2x^2)e^x，特解可设为x^k(ax^2+bx+c)，因为λ=1不是齐次方程的特征方程r^2+4r+4=0的根，所以k=0，所以特解设为(ax^2+bx+c)e^x。
把特解代入的过程一般可省略，有个可直接得最终结果的式子，教材上的推导过程会有：对于y''+py'+qy=P(x)e^(λx)，特解设为Q(x)e^(λx)，代入后会得到Q''(x)+(2λ+p)Q'(x)+(λ^2+pλ+q)Q(x)=P(x)。熟记这个式子对于简化计算很有帮助。
对于本题，P(x)=2x^2，Q(x)=ax^2+bx+c，所以2a+6(2ax+b)+9(ax^2+bx+c)=2x^2，所以a=2/9，b=-8/27，c=4/27。