Question

如图所示，已知AD与BC相交于点E，角1=角2=角3，BD=CD,角ADB=90度，CH垂直AB于

如图所示，已知AD与BC相交于点E，角1=角2=角3，BD=CD,角ADB=90度，CH垂直AB于点H，CH交AD于点F。 （1）求证: CD平行AB。 （2）求证:角BDE全等于角 ACE. （3）若O为AB的中点，求证:OF=二分之一BE。

Answer 1

证明：（1）∵BD=CD，
∴∠BCD=∠1；
∵∠1=∠2，
∴∠BCD=∠2；
∴CD∥AB．

（2）∵CD∥AB，∴∠CDA=∠3．
∵∠BCD=∠2=∠3，
∴BE=AE．
且∠CDA=∠BCD，
∴DE=CE．
在△BDE和△ACE中，
∵DE=CE，∠DEB=∠CEA，BE=AE．
∴△BDE≌△ACE；

（3）∵△BDE≌△ACE，
∴∠4=∠1，∠ACE=∠BDE=90°
∴∠ACH=90°-∠BCH；
又∵CH⊥AB，
∴∠2=90°-∠BCH；
∴∠ACH=∠2=∠1=∠4，
∴AF=CF；
∵∠AEC=90°-∠4，∠ECF=90°-∠ACH，
又∵∠ACH=∠4，
∴∠AEC=∠ECF；
∴CF=EF；
∴EF=AF；
∵O为AB中点，
∴OF为△ABE的中位线；
∴OF=1/2 BE．