Question

如图，直角坐标系中，点B（a，0），点C（0，b），点A在第一象限．若a，b满足（a-t）2+|b-t|=0（t＞0）．

（1）证明：OB=OC；（2）如图1，连接AB，过A作AD⊥AB交y轴于D，在射线AD上截取AE=AB，连接CE，F是CE的中点，连接AF，OA，当点A在第一象限内运动（AD不过点C）时，证明：∠OAF的大小不变；（3）如图2，B′与B关于y轴对称，M在线段BC上，N在CB′的延长线上，且BM=NB′，连接MN交x轴于点T，过T作TQ⊥MN交y轴于点Q，求点Q的坐标．

Answer 1

1.证明:∵(a-t)²+│b-t│=0.

∴a-t=0,且b-t=0.则:a=t,b=t.即OB=OC=t.

延长AF到A',使FA'=FA,连接A'C,A'O,OF.

∵FA'=FA;FC=FE;∠A'FC=∠AFE.

∴⊿A'FC≌⊿AFE(SAS),A'C=AE=AB;∠CA'F=∠EAF.

∴A'C∥AE,∠A'CO=∠ADC;

又∠DAB+∠DOB=180°,则∠ADO+∠ABO=180°.(四边形内角和为360度)

∴∠ABO=∠ADC(均为角ADO的补角)

则:∠A'CO=∠ABO(等量代换);又OC=OB.

∴⊿A'CO≌⊿ABO(SAS),OA'=OA;∠A'OC=∠AOB.

故:∠A'OA=∠COB=90°,即⊿A'OA为等腰直角三角形.

∴∠OAF=45°.

2.解:作NH∥BC,则:∠H=∠CBB'.

又点B'和B关于Y轴对称,则QB'=QB,⊿BCB'为等腰直角三角形;B'C=BC,∠CB'B=∠CBB'.

∴∠H=∠CB'B=∠NB'H,得HN=B'N=BM.

∵NH=BM;∠H=∠MBT(已证).

   ∠NTH=∠MTB(对顶确相等)

∴⊿NTH≌⊿MTB(AAS),NT=MT;又TQ垂直MN.

∴QN=QM.(线段垂直平分线的性质);

又QB'=QB,B'N=BM.(已证).

则⊿QB'N≌⊿QBM(SSS),∠B'QN=∠BQM;∠QNB'=∠QMB.

∴∠QNB'+∠QMC=∠QMB+∠QMC=180° .

故:∠NQM+∠NCM=180° (四边形内角和为360度)

∴∠NQM=180° -∠NCM=90° ,∠B'QB=∠NQM=90°.

所以,OQ=BB'/2=OB=t,即点Q为(0, -t).

Answer 2

（1）因为(a-t)²和|b-t|都不小于0，所以和为0时只有两个都为0
a-t=0，a=t
b-t=0，b=t
所以B（t，0）、C（0，t）
OB=OC
（2）延长AF到点P，使PF=AF；连接CP、OP、OF
在△AEF和△PCF中，
EF=CF，∠AFE=∠PFC，AF=PF
所以△AEF≌△PCF，AE=PC=AB且∠AEF=∠PCF
所以AE∥PC，∠PCO=∠CDA=180-∠ADO
四边形ABOD中，∠ABO=360-∠BOD-∠BAD-∠ADO=180-∠ADO
所以∠PCO=∠ABO
在△PCO和△ABO中
OC=OB，∠PCO=∠ABO，PC=AB
所以△PCO≌△ABO，OP=OA，∠POC=∠AOB
∠AOP=∠BOC-∠AOB+∠POC=∠BOC=90
所以△AOP为等腰直角三角形，因此∠OAF为45，是定值
（3）从N作NP∥MB，交X轴于P；连接NQ、MQ、BQ、B′Q
由（1）结论，△BOC是等腰直角三角形
B、B′关于Y轴对称，所以BB′=2OB
△BCB′也是等腰直角三角形，∠BB′C=∠B′BC=45
NP∥MB，∠B′PN=∠B′BC=45
∠PB′N=∠BB′C=45
所以NP=NB′=MB
又有∠B′PN=∠B′BC，∠PTN=∠BTM
所以△PTN≌△BTM，NT=MT，T为MN中点
QT⊥MN，所以QT为MN垂直平分线，MQ=NQ
B、B′关于Y轴对称，Q在Y轴上，所以BQ=B′Q
△BQM≌△B′QN（SSS），∠NB′Q=∠MBQ
在△BCQ和△B′CQ中
BC=B′C，∠BCQ=∠B′CQ=45，CQ=CQ
所以△BCQ≌△B′CQ，∠MBQ=∠CB′Q=∠NB′Q
∠CB′Q+∠NB′Q=180
所以∠NB′Q=∠MBQ=90
所以∠OBQ=45，△OBQ为等腰直角三角形
OQ=OB=t
因此Q(0，-t)