Question

设随机变量X,Y相互独立且N(μ,σ^2),均服从正态分布,求Z=bX+cY与Z1=bX-cY的相关系数

错的

Answer 1

Cov(bX+cY,bX-cY)=b^2*Cov(X,X)+2*b*c*Cov(X,Y)+c^2*Cov(Y,Y) (协方差的线性性与交换性)
=b^2*Var(X)+c^2*Var(Y) (独立->Cov(X,Y)=0)
=(b^2+c^2)*σ^2
Corr(bX+cY,bX-cY)=Cov(bX+cY,bX-cY)/(Std(X)*Std(Y))=(b^2+c^2)*σ^2/σ^2=b^2+c^2

追问

错的

追答

Cov(bX+cY,bX-cY)=b^2*Cov(X,X)-c^2*Cov(Y,Y)=(b^2-c^2)*σ^2
Sorry，手滑了
Var(Z)=b^2*Var(X)+c^2*Var(Y)=(b^2+c^2)*σ^2
Var(Z1)=b^2*Var(X)+c^2*Var(Y)=(b^2+c^2)*σ^2
Corr(bX+cY,bX-cY)=Cov(bX+cY,bX-cY)/(Std(Z)*Std(Z1))=(b^2-c^2)/(b^2+c^2)