Question

椭圆问题，跪求第二问

Answer 1

1.  a:b:c = 2:1:根号（3），设a = 2, 直线y = x - 根号（3）,AB距离 = 1.6, 而实际AB距离=8，所以a=10, b = 5,

   

2. A(4根号（3）+2根号（2），2根号（2）-根号（3））

   B(4根号（3）-2根号（2），-2根号（2）-根号（3））

   OM = λOA + μOB, 得M点x,y坐标为

   Mx = 4根号（3）（λ+μ）+2根号（2）（λ-μ)

   My = 2根号（2）（λ-μ）-根号（3）（λ+μ)

   代入椭圆方程x^2/100 + y^2/25 = 1,化简得

   λ^2 + 2μ/5 λ + μ^2 - 1 = 0

   解得 λ = 根号（1-24μ^2/25) -μ/5

   λμ =(根号（1-24μ^2/25) -μ/5)μ, 曲线如下，当 λ=μ=根号（5/12）时，λμ最大 = 5/12

    

    

3. 

Answer 2

郭敦顒回答：

∵椭圆的离心率e=c/a=√3/2，c²=a²－b²，∴a²=4，b²=1，c=√3，

∴椭圆C的方程是：x²/4+y²=1。

（Ⅱ）设直线l过右焦点F（√3，0），则斜率k= tan45°=1，

直线l的方程是y=x－√3，与x²/4+y²=1联立得，x²/4+（x－√3）²=1，

∴5x²－（8√3）x+8=0，x1=0.8√3+0.4√2=1.951326，

x2=0.8√3－0.4√2=0.819955，

∴y1=x－√3=1.951326－√3=0.219275，

y2=x－√3=0.819955－√3=－0.9121，

∴A点坐标为A（1.951326，0.219275）。B点坐标为B（0.819955，－0.9121）

∴| AB|=√[（1.951326－0.219275）²+（0.819955+0.9121）²]=√6=2.44949

题中所给| AB|=8错误，这是显然的，椭圆C的长轴长为4，短轴长为2，椭圆C上的任意两点间的距离不大于4。

椭圆C的原点为O。对于椭圆C上任一点M，若向量OM=λ向量OA+μ向量OB，求λ，μ的最大值，

当M在椭圆C的右顶点时，λ，μ有最大值。

设椭圆C的右顶点为E，则E点坐标为E（2，0），过E作CD∥AB，交OA的延长线于C，交OB的延长线于D，则

OA/OC=OB/OD=OF/OE=（√3）/2，

∴OA=[（√3）/2]OC，OB= [（√3）/2] OD

∴向量OA=[（√3）/2] 向量OC，向量OB= [（√3）/2] 向量OD

∵2向量OM=向量OC+向量OD，∴向量OM=（1/2）向量OC+（12）向量OD

∴向量OM=（1/2）[（√3）/2]向量OA+（1/2）[（√3）/2]向量OB，

∴向量OM=[（√3）/4] 向量OA+[（√3）/4] 向量OB，

∵向量OM=λ向量OA+μ向量OB，对应项系数相等，

∴λ= max（√3）/4，maxμ=（√3）/4，

 

                Y                 

                                      

                                       直线l：y=x－√3

 

 

                              A    C  

              O            F（E）M            X  

 

 

 

                   B

                       D

 

                （0，√3）