Question

在平面直角坐标系中，将一块腰长为根号5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C

在平面直角坐标系中，将一块腰长为根号5的等腰直角三角板ABC放在第二象限，且斜靠在两坐标轴上，直角顶点C的坐标为（-1，0），点B在抛物线上．（1）点A的坐标为 ，点B的坐为 ；（2）抛物线的关系式为 ；（3）设（2）中抛物线的顶点为D，求△DBC的积；（4）将三角板ABC绕顶点A逆时针方向旋转90°，到达 的位置．请判断点 、 是否在（2）中的抛物线上，并说明理由

Answer 1

解：（1）∵C（-1，0），AC=5，
∴OA=AC2-OC2=5-1=2，
∴A（0，2）；
过点B作BF⊥x轴，垂足为F，
∵∠ACO+∠CAO=90°，∠ACO+∠BCF=90°，∠BCF+∠FBC=90°，
在△AOC与△CFB中，
∵∠FBC=∠ACOBC=AC∠BCF=∠CAO​，
∴△AOC≌△CFB，
∴CF=OA=2，BF=OC=1，
∴OF=3，
∴B的坐标为（-3，1），
故答案为：（0，2），（-3，1）；

（2）∵把B（-3，1）代入y=ax2+ax-2得：
1=9a-3a-2，
解得a=12，
∴抛物线解析式为：y=12x2+12x-2．
故答案为：y=12x2+12x-2；

（3）由（2）中抛物线的解析式可知，抛物线的顶点D（-12，-178），
设直线BD的关系式为y=kx+b，将点B、D的坐标代入得：
-3k+b=1-
12k+b=-
178​，
解得k=-
54b=-
114​．
∴BD的关系式为y=-54x-114．
设直线BD和x 轴交点为E，则点E（-115，0），CE=65．
∴S△DBC=12×65×（1+178）=158；

（4）假设存在点P，使得△ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形：
①若以点C为直角顶点；
则延长BC至点P1，使得P1C=BC，得到等腰直角三角形△ACP1，
过点P1作P1M⊥x轴，
∵CP1=BC，∠MCP1=∠BCD，∠P1MC=∠BFC=90°，
∴△MP1C≌△FBC．
∴CM=CF=2，P1M=BF=1，
∴P1（1，-1）；
②若以点A为直角顶点；
则过点A作AP2⊥CA，且使得AP2=AC，得到等腰直角三角形△ACP2，
过点P2作P2N⊥y轴，同理可证△AP2N≌△CAO，
∴NP2=OA=2，AN=OC=1，
∴P2（2，1），
经检验，点P1（1，-1）与点P2（2，1）都在抛物线y=12x2+12x-2上．

Answer 2

先求出抛物线解析式把C点坐标代入y=ax²+ax-2,因为OC为根号5，，根据勾股定理可求出AO=2，因为 AC‘=AC=根号5 然后过电C’作垂线交Y轴于点H，可证△ACO全等△C'AH，条件，旋转交CAC'等于90°，所以∠CAO加∠HAC等于90°，又因为∠AC‘H加∠OAC'等于90°所以∠CAO=∠AC'H，又因为∠AHC'=∠AOC=90°，所以全等，然后AH等于OC等于1，CH=AO=2,HO=AO-AH=2-1=1,即C（2，1），将C点横坐标代入求出Y然后看Y是否等于1，是就在抛物线上，不是就不再，
在分别过点C'和点B'作垂线，两线交于一点F，证明△C'FB'全等于三角形C'HA，条件;俩直角相等，又因为∠AC'B'等于90°∠AC'H+∠HC'B'=90°，∠HC'F=90°，所以∠HC'B'+∠B'C'F=90°，所以∠AC'H=∠B'C'F，AC'=C'B'，所以全等，然后AH=B'F=1C'F=CH=2,可求B点坐标（1，1），在将B点横坐标代入解析式，求坐标，看Y是否等于1，是就在抛物线上，不是就不在

Answer 3

解： （1）A（0，2）， B（，1）．

（2）．

（3）如图1，可求得抛物线的顶点D（）．

设直线BD的关系式为， 将点B、D的坐标代入，求得，，

∴ BD的关系式为．

设直线BD和x 轴交点为E，则点E（，0），CE=．

∴ △DBC的面积为．

（4）如图2，过点作轴于点M，过点B作轴于点N，过点作轴于点P．

在Rt△AB′M与Rt△BAN中，

∵ AB=AB′， ∠AB′M=∠BAN=90°-∠B′AM，

∴ Rt△AB′M≌Rt△BAN．

∴ B′M=AN=1，AM=BN=3， ∴ B′（1，）．

同理△AC′P≌△CAO，C′P=OA=2，AP=OC=1，可得点C′（2，1）；

将点B′、C′的坐标代入，可知点B′、C′在抛物线上．

（事实上，点P与点N重合）

Answer 4

（1）点A的坐标为 （0,2）点B的坐为 （-3,0） ；
（2）抛物线的关系式为 ；（一个点B无法确定一条抛物线，此题有错）

Answer 5

A0,2
B-3,1
y=0.5x方+0.5x-2