Question

22题，学霸来看看

Answer 1

22.(1)连OA.
PA切圆O于A,
∴∠OAP=90°，
弦AB⊥OP于C,由垂径定理，AC=CB,
∴PA=PB,
∴∠PBA=∠PAB,①
又OA=OB,
∴∠OBA=∠OAB,②
①+②，∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB是圆O的切线。
(2)连AD.设OC=1，tan∠ABE=OC/BC=1/2,∴BC=2.
由射影定理，BC^2=OC*CP,∴CP=4，OP=5.
PB^2=PC*PO=20，PA=PB=2√5，
BD是圆O的直径，
∴DA⊥BA,
∴DA∥OP,
∴OC/DA=BC/BA=1/2，DA=2，
EA/EP=DA/OP=2/5，
∴5EA=2EP=2(EA+2√5),3EA=4√5，EA=4√5/3，EP=(5/2)EA=10√5/3，
∴sinE=PB/EP=3/5.
本题有多种解法。