关于复变函数与积分变换
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富港检测东莞有限公司
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复变函数复习重点
(一)复数的概念
1.复数的概念:zxiy,x,y是实数,
xRez,yImz.i21.
注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1
)模:z
2)幅角:在z0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Argz(多值函数);主值argz是位于(,]中的幅角。 3)argz与arctany之间的关系如下:
x
y
; x
yxyx
当x0,
argzarctan
y0,argzarctan
当x0,
y0,argzarctan
;
4)三角表示:zzcosisin,其中argz;注:中间一定是“+”号。
5)指数表示:z (二) 复数的运算
1.加减法:若z1x1iy1,z2x2iy2,则z1z2x1x2iy1y2 2.乘除法:
1)若z1x1iy1,z2x2iy2,则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2;
zei,其中argz。
z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1
i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2
z1ei1,z2z2ei2,
。
2)若z1
则
(一)复数的概念
1.复数的概念:zxiy,x,y是实数,
xRez,yImz.i21.
注:一般两个复数不比较大小,但其模(为实数)有大小. 2.复数的表示 1
)模:z
2)幅角:在z0时,矢量与x轴正向的夹角,记为Argz(多值函数);主值argz是位于(,]中的幅角。 3)argz与arctany之间的关系如下:
x
y
; x
yxyx
当x0,
argzarctan
y0,argzarctan
当x0,
y0,argzarctan
;
4)三角表示:zzcosisin,其中argz;注:中间一定是“+”号。
5)指数表示:z (二) 复数的运算
1.加减法:若z1x1iy1,z2x2iy2,则z1z2x1x2iy1y2 2.乘除法:
1)若z1x1iy1,z2x2iy2,则
z1z2x1x2y1y2ix2y1x1y2;
zei,其中argz。
z1x1iy1x1iy1x2iy2x1x2y1y2y1x2y2x1
i2222z2x2iy2x2iy2x2iy2x2y2x2y2
z1ei1,z2z2ei2,
。
2)若z1
则
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追答
z1z2z1z2e1
i2
;z1
z2
z1z2
e1
i2
3.乘幂与方根 1) 若z2) 若z
1n
z(cosisin)zei,则znz(cosnisinn)zein
n
n。
z(cosisin)zei,则
2k2k
zcosisin
nn
(k0,1,2n1)(有n个相异的值)
(三)复变函数
1.复变函数:wfz,在几何上可以看作把z平面上的一个点集D变到w平面上的一个点集G的映射. 2.复初等函数
1)指数函数:ezexcosyisiny,在z平面处处可导,处处解析;且ezez。
注:ez是以2i为周期的周期函数。(注意与实函数不同) 3) 对数函数:
Lnzlnzi(argz2k)(k0,1,2)(多值函数);
主值:lnzlnziargz。(单值函数)
Lnz的每一个主值分支lnz在除去原点及负实轴的z平面内处处
解析,且lnz1;
z
注:负复数也有对数存在。(与实函数不同)
3)乘幂与幂函数:a
b
ebLna(a0)
;z
b
ebLnz
(z0)
注:在除去原点及负实轴的z平面内处处解析,且zbbzb1。
eizeizeizeizsinzcosz
,cosz,tgz,ctgz4)三角函数:sinz 2i2coszsinz
sinz,cosz在z平面内解析,且sinzcosz,coszsinz
注:有界性sinz1,cosz1不再成立;(与实函数不同)
4) 双曲函数
shz
ezezezezshz,chz
22
;
平面内解析,且
奇函数,chz是偶函数。在sh,zchzz
shzc,hzchz
。 shz
(四)解析函数的概念 1.复变函数的导数 1)点可导:
fz0=lim
fz0zfz0
z
z0
;
2)区域可导: fz在区域内点点可导。 2.解析函数的概念
1)点解析: fz在z0及其z0的邻域内可导,称fz在z0点解析; 2)区域解析: fz在区域内每一点解析,称fz在区域内解析; 3)若f(z)在z0点不解析,称z0为fz的奇点;
3.解析函数的运算法则:解析函数的和、差、积、商(除分母为零的点)仍为解析函数;解析函数的复合函数仍为解析函数; (五)函数可导与解析的充要条件
1.函数可导的充要条件:fzux,yivx,y在zxiy可导
ux,y
和vx,y在x,y可微,且在x,y 处满足CD条件:
uv
yx
uv
,xy
此时, 有fzuiv。
x
x
2.函数解析的充要条件:fzux,yivx,y在区域内解析
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