Question

高等代数，求解答

Answer 1

用'表示转置.

首先, 若A是零矩阵, 则A既对称又反对称, 满足题意.
以下只讨论A不是零矩阵的情形.

X'AY = 0等价于(AY)'X = Y'A'X = 0, 也即X满足以(AY)'为系数的线性方程.
Y'AX = 0等价于(A'Y)'X = 0, 也即X满足以(A'Y)'为系数的线性方程.
于是条件说明对任意向量Y, 这两个线性方程同解.
从线性方程组解空间的理论, 不难推出:
① AY = 0当且仅当A'Y = 0.
② 存在c ≠ 0 (可能与Y有关), 使A'Y = cAY.

下一步就是说明c的选取可以与Y无关.
由A不是零矩阵, 可取定向量Y, 使AY ≠ 0, 由②知存在c ≠ 0, 使A'Y = cAY.
对任意向量X.
1) 若AX与AY线性相关.
由AY ≠ 0, 可设AX = sAY, 即A(X-sY) = 0.
由①得A'(X-sY) = 0, 故A'X = sA'Y = scAY = cAX.
即A'X = cAX对X也成立.
2) 若AX与AY线性无关.
由②可设A'X = aAX, A'(X+Y) = bA(X+Y).
又A'Y = cAY, 可得(b-a)AX+(b-c)AY = 0.
但AX, AY线性无关, 故b-a = b-c = 0, 得a = b = c.
因此A'X = cAX对X也成立.

综上, A'X = cAX对任意向量X成立.
这说明A'B = cAB对任意n阶矩阵B成立.
取B = E得A' = cA, 取转置得A = cA' = c^2A.
由A不是零矩阵, 只有c^2 = 1, 即c = 1或-1.
对应A' = A或A' = -A, 即A为对称或反对称矩阵.

感觉上可能有简单的证法, 不过目前没想到.

追问

谢谢大神，我好好研究下，还有一题大神看看

第三问，望大神指点下

大神看到了吗

等待中，，，

追答

我看到你开的问题了.
不过没想到简单的办法,
只有证明Jordan标准型的那种繁琐方法.
如果不嫌麻烦的话我写到那个问题里去吧,
另外需要花一些时间来写.

追问

恩，谢谢大神

刚刚这题，有个大神说把A写成对称反对陈的和，可是我还不知道怎么做，想了好久大神

写成这样形式没观察出来

追答

我也往这方面想过, 但是没有成功.
这个等我再想想吧.

追问

恩，大神，辛苦了，