北京市西城区2011年高三二模试卷:数学文 10
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北京市西城区2010年抽样测试(二)
高三数学（文科） 2010.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，若 且 ，则 等于
A．
B． √
C．
D．
2. 已知命题 ，则
A．
B．
C． √
D．
3. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为( )
A．
B．
C．
D． √
4. “ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 √ B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 如图，三棱柱 的侧棱长和底面边长均为 ，且侧棱 底面 ，其正（主）视图是边长为 的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为
A． B． √
C． D．
6. 在数列 中， ， ， ．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是
A．
B．
C． √
D．
7. 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是
A．
B．
C． √
D．
8. 给出函数 的一条性质：“存在常数 ，使得 对于定义域中的一切实数 均成立.”
则下列函数中具有这条性质的函数是
A．
B．
C．
D． √
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 是虚数单位， _____.
10. 函数 的最小正周期是_________，最大值是________.
11. 在抛物线 上，横坐标为 的点到抛物线焦点的距离为 ，则 ________.
12. 圆心在 轴上，且与直线 切于 点的圆的方程为________.
13. 设 为单位向量， 的夹角为 ，则 的最大值为________.
14. 我们可以利用数列 的递推公式 （ ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.
则 _________；
研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
在 中，角 的对边分别为 ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
16.（本小题满分13分）
在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
在选取的40名学生中，
（Ⅰ）求成绩在区间 内的学生人数；
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间 内的概率.
17.（本小题满分13分）
如图，已知四棱柱 的底面是菱形，侧棱 底面 ， 是侧棱 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 .
18.（本小题满分14分）
已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交与 两点，点 ，且 ，求直线 的方程.
19.（本小题满分14分）
设函数 .
（Ⅰ）求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）当 时，记曲线 在点 （ ）处的切线为 ， 与 轴交于点 ，求证： .
20.（本小题满分14分）
如果由数列 生成的数列 满足对任意的 均有 ，其中 ，则称数列 为“ 数列”.
（Ⅰ）在数列 中，已知 ，试判断数列 是否为“ 数列”；
（Ⅱ）若数列 是“ 数列”， ， ，求 ；
（Ⅲ）若数列 是“ 数列”，设 ，且 ，求证： .
北京市西城区2010年抽样测试参考答案
高三数学试卷（文科） 2010.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B C C D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. ， 11. 12.
13. 14.
注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）
15、解：（Ⅰ）因为 ，
所以 …………………3分
. …………………5分
（Ⅱ）在 中，因为 ，所以 ， …………………7分
因为 ，所以 ， …………………9分
根据正弦定理 ， …………………10分
所以 ，
又 ，所以 . …………………12分
16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间 的频率为
， …………………3分
所以，40名学生中成绩在区间 的学生人数为 （人）.
…………………5分
（Ⅱ）设 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间 内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间 内的学生有4人，
记这四个人分别为 ，
成绩在区间 内的学生有2人， …………………7分
记这两个人分别为 ，
则选取学生的所有可能结果为：
，
基本事件数为15， …………………9分
事件“至少一人成绩在区间 之间”的可能结果为：
，
基本事件数为9， …………………11分
所以 . …………………13分
17、证明：（Ⅰ）因为 是菱形，所以 ，
因为 底面 ，
所以 ， …………3分
所以 平面 . …………5分
（Ⅱ）设 , 交于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
又 是侧棱 的中点， ， ， ，
所以 ，且 , …………………7分
所以四边形 为平行四边形， ， …………………9分
又 平面 ， 平面 ， ………………11分
所以 平面 . ………………13分
18、解：（Ⅰ）由已知 ， ， …………………3分
解得 ， ，
所以 ， …………………4分
所以椭圆 的方程为 . …………………5分
（Ⅱ）由 得， ，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ，
解得 . …………………7分
设 ， ，
则 ， ， …………………8分
计算 ，
所以， 中点坐标为 ， …………………10分
因为 ，所以 ， ，
所以 ， …………………12分
解得 ， …………………13分
经检验，符合题意，
所以直线 的方程为 或 . …………………14分
19、（Ⅰ）解： ， ， …………………2分
当 时， 为 上的增函数，
所以 在区间 上的最小值为 ； …………………4分
当 时， 的变化情况如下表：
所以，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. …………………6分
当 ，即 时，
在区间 上的最小值为 ； ……………7分
当 ，即 时， 在区间 上的最小值为 . ……8分
综上，当 时， 在区间 上的最小值为 ；当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为 .
（Ⅱ）证明：曲线 在点 （ ）处的切线方程为 ，
令 ，得 ， …………………10分
所以 ，因为 ，所以 ， . ………11分
因为 ，所以 ，
所以 ， …………………13分
所以 . …………………14分
20、解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ， ， …………………2分
所以 ，
所以 ，数列 是“ 数列”. …………………4分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ， ，…， ，
所以 （ ），…………………6分
所以 （ ），
又 ，所以 （ ）. …………………8分
（Ⅲ）因为 ，
，
………………10分
又 ，且 ，所以 ， ， ，
所以 ， …………………12分
所以 ，即 . …………………14分
北京市西城区2010年抽样测试(二)
高三数学（文科） 2010.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合 ， ，若 且 ，则 等于
A．
B． √
C．
D．
2. 已知命题 ，则
A．
B．
C． √
D．
3. 设变量 满足约束条件 则目标函数 的最小值为( )
A．
B．
C．
D． √
4. “ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 √ B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 如图，三棱柱 的侧棱长和底面边长均为 ，且侧棱 底面 ，其正（主）视图是边长为 的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为
A． B． √
C． D．
6. 在数列 中， ， ， ．为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是
A．
B．
C． √
D．
7. 等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则下列结论正确的是
A．
B．
C． √
D．
8. 给出函数 的一条性质：“存在常数 ，使得 对于定义域中的一切实数 均成立.”
则下列函数中具有这条性质的函数是
A．
B．
C．
D． √
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 是虚数单位， _____.
10. 函数 的最小正周期是_________，最大值是________.
11. 在抛物线 上，横坐标为 的点到抛物线焦点的距离为 ，则 ________.
12. 圆心在 轴上，且与直线 切于 点的圆的方程为________.
13. 设 为单位向量， 的夹角为 ，则 的最大值为________.
14. 我们可以利用数列 的递推公式 （ ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数.
则 _________；
研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第_____项.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分12分）
在 中，角 的对边分别为 ， ， .
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 ，求 的值.
16.（本小题满分13分）
在参加市里主办的科技知识竞赛的学生中随机选取了40名学生的成绩作为样本，这40名学生的成绩全部在40分至100分之间，现将成绩按如下方式分成6组：第一组，成绩大于等于40分且小于50分；第二组，成绩大于等于50分且小于60分；……第六组，成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.
在选取的40名学生中，
（Ⅰ）求成绩在区间 内的学生人数；
（Ⅱ）从成绩大于等于80分的学生中随机选2名学生，求至少有1名学生成绩在区间 内的概率.
17.（本小题满分13分）
如图，已知四棱柱 的底面是菱形，侧棱 底面 ， 是侧棱 的中点.
（Ⅰ）求证： 平面 ；
（Ⅱ）求证： 平面 .
18.（本小题满分14分）
已知椭圆 的离心率为 ，椭圆 上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为 .
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设直线 与椭圆 交与 两点，点 ，且 ，求直线 的方程.
19.（本小题满分14分）
设函数 .
（Ⅰ）求函数 在区间 上的最小值；
（Ⅱ）当 时，记曲线 在点 （ ）处的切线为 ， 与 轴交于点 ，求证： .
20.（本小题满分14分）
如果由数列 生成的数列 满足对任意的 均有 ，其中 ，则称数列 为“ 数列”.
（Ⅰ）在数列 中，已知 ，试判断数列 是否为“ 数列”；
（Ⅱ）若数列 是“ 数列”， ， ，求 ；
（Ⅲ）若数列 是“ 数列”，设 ，且 ，求证： .
北京市西城区2010年抽样测试参考答案
高三数学试卷（文科） 2010.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A B C C D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. ， 11. 12.
13. 14.
注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.
三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.）
15、解：（Ⅰ）因为 ，
所以 …………………3分
. …………………5分
（Ⅱ）在 中，因为 ，所以 ， …………………7分
因为 ，所以 ， …………………9分
根据正弦定理 ， …………………10分
所以 ，
又 ，所以 . …………………12分
16、解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间 的频率为
， …………………3分
所以，40名学生中成绩在区间 的学生人数为 （人）.
…………………5分
（Ⅱ）设 表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一名学生成绩在区间 内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间 内的学生有4人，
记这四个人分别为 ，
成绩在区间 内的学生有2人， …………………7分
记这两个人分别为 ，
则选取学生的所有可能结果为：
，
基本事件数为15， …………………9分
事件“至少一人成绩在区间 之间”的可能结果为：
，
基本事件数为9， …………………11分
所以 . …………………13分
17、证明：（Ⅰ）因为 是菱形，所以 ，
因为 底面 ，
所以 ， …………3分
所以 平面 . …………5分
（Ⅱ）设 , 交于点 ，取 的中点 ，连接 ，
则 ，且 ，
又 是侧棱 的中点， ， ， ，
所以 ，且 , …………………7分
所以四边形 为平行四边形， ， …………………9分
又 平面 ， 平面 ， ………………11分
所以 平面 . ………………13分
18、解：（Ⅰ）由已知 ， ， …………………3分
解得 ， ，
所以 ， …………………4分
所以椭圆 的方程为 . …………………5分
（Ⅱ）由 得， ，
直线与椭圆有两个不同的交点，所以 ，
解得 . …………………7分
设 ， ，
则 ， ， …………………8分
计算 ，
所以， 中点坐标为 ， …………………10分
因为 ，所以 ， ，
所以 ， …………………12分
解得 ， …………………13分
经检验，符合题意，
所以直线 的方程为 或 . …………………14分
19、（Ⅰ）解： ， ， …………………2分
当 时， 为 上的增函数，
所以 在区间 上的最小值为 ； …………………4分
当 时， 的变化情况如下表：
所以，函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减. …………………6分
当 ，即 时，
在区间 上的最小值为 ； ……………7分
当 ，即 时， 在区间 上的最小值为 . ……8分
综上，当 时， 在区间 上的最小值为 ；当 时， 的最小值为 ；当 时， 的最小值为 .
（Ⅱ）证明：曲线 在点 （ ）处的切线方程为 ，
令 ，得 ， …………………10分
所以 ，因为 ，所以 ， . ………11分
因为 ，所以 ，
所以 ， …………………13分
所以 . …………………14分
20、解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ， ， …………………2分
所以 ，
所以 ，数列 是“ 数列”. …………………4分
（Ⅱ）因为 ，
所以 ， ，…， ，
所以 （ ），…………………6分
所以 （ ），
又 ，所以 （ ）. …………………8分
（Ⅲ）因为 ，
，
………………10分
又 ，且 ，所以 ， ， ，
所以 ， …………………12分
所以 ，即 . …………………14分
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2011.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A D B B C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. 11.
12. ； 13. ； 14. ①③
注：12、13题第一问2分，第二问3分.
14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分）
解：解：（Ⅰ）由题意， ， ……………2分
所以， . ……………3分
函数 的定义域为 . ……………4分
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ……………5分
， ……………7分
， ……………9分
将上式平方，得 ， ……………12分
所以 . ……………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为点 是菱形 的对角线的交点，
所以 是 的中点.又点 是棱 的中点，
所以 是 的中位线， . ……………2分
因为 平面 , 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
（Ⅱ）证明：由题意， ,
因为 ,所以 ， . ……………6分
又因为菱形 ，所以 . …………7分
因为 ,
所以 平面 ， ……………8分
因为 平面 ，
所以平面 平面 . ……………9分
（Ⅲ）解：三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积. ……………10分
由（Ⅱ）知， 平面 ，
所以 为三棱锥 的高. ……………11分
的面积为 ， ……………12分
所求体积等于 . ……………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得 ， ……………2分
所以 . ……………3分
（Ⅱ）设所选取的人中，有 人20岁以下，则 ，解得 .………5分
也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. ………7分
其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分
所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为 . ……………9分
（Ⅲ）总体的平均数为 ，………10分
那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分
所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为 . ……………13分
18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知 ，
所以 ， ……………2分
由 ，得 ， ……………3分
所以，在区间 上， ，
函数 在区间 上单调递减； ……………4分
在区间 上， ，
函数 在区间 上单调递增； ……………5分
即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（Ⅱ）因为 ，
所以曲线 在点 处切线为 ： . ……………7分
切线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ， ……………9分
因为 ，所以 ， ……………10分
， ……………12分
在区间 上，函数 单调递增，在区间 上，函数 单调递减.
……………13分
所以，当 时， 有最大值，此时 ，
所以， 的最大值为 . ……………14分
19、（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知 ， . ……………2分
解得 ， ……………4分
所以 ，
椭圆的方程为 . ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过 点的直线为 ，
由 得 ， ……………6分
所以 ，所以 ， ……………8分
依题意 ， .
因为 成等比数列，所以 ， ……………9分
所以 ，即 ， ……………10分
当 时， ，无解， ……………11分
当 时， ，解得 ， ……………12分
所以 ，解得 ，
所以，当 成等比数列时， . ……………14分
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：①函数 具有性质 . ……………1分
，
因为 ， ， ……………3分
即 ，
此函数为具有性质 .
②函数 不具有性质 . ……………4分
例如，当 时， ，
， ……………5分
所以， ，
此函数不具有性质 .
（Ⅱ）假设 为 中第一个大于 的值， ……………6分
则 ，
因为函数 具有性质 ，
所以，对于任意 ，均有 ，
所以 ，
所以 ，
与 矛盾，
所以，对任意的 有 . ……………9分
（Ⅲ）不成立.
例如 ……………10分
证明：当 为有理数时， 均为有理数，
，
当 为无理数时， 均为无理数，
所以，函数 对任意的 ，均有 ，
即函数 具有性质 . ……………12分
而当 （ ）且当 为无理数时， .
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意 均有 ”不成立.……………13分
（其他反例仿此给分.
如 ， ， ，等.）
2011.5
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B C A D B B C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9. 10. 11.
12. ； 13. ； 14. ①③
注：12、13题第一问2分，第二问3分.
14题只选出一个正确的命题给2分，选出错误的命题即得0分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.
15.（本小题满分13分）
解：解：（Ⅰ）由题意， ， ……………2分
所以， . ……………3分
函数 的定义域为 . ……………4分
（Ⅱ）因为 ，所以 ， ……………5分
， ……………7分
， ……………9分
将上式平方，得 ， ……………12分
所以 . ……………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为点 是菱形 的对角线的交点，
所以 是 的中点.又点 是棱 的中点，
所以 是 的中位线， . ……………2分
因为 平面 , 平面 ，
所以 平面 . ……………4分
（Ⅱ）证明：由题意， ,
因为 ,所以 ， . ……………6分
又因为菱形 ，所以 . …………7分
因为 ,
所以 平面 ， ……………8分
因为 平面 ，
所以平面 平面 . ……………9分
（Ⅲ）解：三棱锥 的体积等于三棱锥 的体积. ……………10分
由（Ⅱ）知， 平面 ，
所以 为三棱锥 的高. ……………11分
的面积为 ， ……………12分
所求体积等于 . ……………13分
17.（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题意得 ， ……………2分
所以 . ……………3分
（Ⅱ）设所选取的人中，有 人20岁以下，则 ，解得 .………5分
也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A1，A2；B1，B2，B3，
则从中任取2人的所有基本事件为 (A1,B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)，(B1 ,B2)，(B2 ,B3)，(B1 ,B3)共10个. ………7分
其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A1, B1)，(A1, B2)，(A1, B3)，(A2 ,B1)，(A2 ,B2)，(A2 ,B3)，(A1, A2)， …………8分
所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为 . ……………9分
（Ⅲ）总体的平均数为 ，………10分
那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分
所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为 . ……………13分
18.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知 ，
所以 ， ……………2分
由 ，得 ， ……………3分
所以，在区间 上， ，
函数 在区间 上单调递减； ……………4分
在区间 上， ，
函数 在区间 上单调递增； ……………5分
即函数 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
（Ⅱ）因为 ，
所以曲线 在点 处切线为 ： . ……………7分
切线 与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ， ……………9分
因为 ，所以 ， ……………10分
， ……………12分
在区间 上，函数 单调递增，在区间 上，函数 单调递减.
……………13分
所以，当 时， 有最大值，此时 ，
所以， 的最大值为 . ……………14分
19、（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由已知 ， . ……………2分
解得 ， ……………4分
所以 ，
椭圆的方程为 . ……………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得过 点的直线为 ，
由 得 ， ……………6分
所以 ，所以 ， ……………8分
依题意 ， .
因为 成等比数列，所以 ， ……………9分
所以 ，即 ， ……………10分
当 时， ，无解， ……………11分
当 时， ，解得 ， ……………12分
所以 ，解得 ，
所以，当 成等比数列时， . ……………14分
20.（本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：①函数 具有性质 . ……………1分
，
因为 ， ， ……………3分
即 ，
此函数为具有性质 .
②函数 不具有性质 . ……………4分
例如，当 时， ，
， ……………5分
所以， ，
此函数不具有性质 .
（Ⅱ）假设 为 中第一个大于 的值， ……………6分
则 ，
因为函数 具有性质 ，
所以，对于任意 ，均有 ，
所以 ，
所以 ，
与 矛盾，
所以，对任意的 有 . ……………9分
（Ⅲ）不成立.
例如 ……………10分
证明：当 为有理数时， 均为有理数，
，
当 为无理数时， 均为无理数，
所以，函数 对任意的 ，均有 ，
即函数 具有性质 . ……………12分
而当 （ ）且当 为无理数时， .
所以，在（Ⅱ）的条件下，“对任意 均有 ”不成立.……………13分
（其他反例仿此给分.
如 ， ， ，等.）
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