Question

已知函数f(x)=x/(3x+1),数列{an}满足a1=1,an+1=

已知函数f(x)=x/(3x+1),数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N*),若数列{bn}的前n项和Sn=2^n-1,记Tn=b1/a1+b2/a2+......+bn/an,求Tn

Answer 1

f(x)=x/(3x＋1)
则：
a(n＋1)=[a(n)]/[3a(n)＋1]
两边取倒数，得：
1/[a(n＋1)]=3＋[1/a(n)]
即：
1/[a(n＋1)]－1/[a(n)]=3=常数
则数列{1/a(n)}是以1/a1=1为首项、以d=3为公差的等差数列，得：
1/a(n)=3n－2
则：
a(n)=1/(3n－2)

ana(n＋1)=[1/(3n－2)×(3n＋1)]=(1/3)[1/(3n－2)]－[1/(3n＋1)]
S(n)=(1/3)×{[1/1－1/4]＋[1/4－1/7]＋…＋[1/(3n－2)－1/(3n＋1)]}
S(n)=(1/3)×[1－1/(3n＋1)]=n/(3n＋1)

S(n)=(1/3)×[1－1/(3n＋1)]
因为：1－1/(3n＋1)<1
则：S(n)<1/3
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追问

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