Question

九年级数学题：在△ABC中，∠C=90° AB=13，BC=5，在两边AB、AC上取点D、E，连接DE，若DE平分△ABC面积

求线段DE最小长度。（没有图，答案是2倍根号3，不知道怎么求的）

Answer 1

我计算到的结果为 2分之5倍根号2 啊~~

做法是:
∵两点之间,线段最短
∴作线段DE, 使线段DE⊥AC于E
设DE=X AE=Y
∴CE=12-Y
∵DE平分△ABC面积,S△ABC面积=30
∴S△ADE=梯形DECB=15

列出方程:

12-30/X=30/X+5

解得:X1=+2分之5倍根号2 X2= -2分之5倍根号2(舍去)

∴DE最小长度为 +2分之5倍根号2

这是其他人的做法:

设AD＝x ，角BAC＝a
因为DE将三角形ABC分成面积相等的两部分，所以三角形ADE的面积＝1/2×1/2×5×12＝15
因为三角形ADE的面积＝1/2 AD×AE×sina
所以 AE＝78/x
由余弦定理得
DE^2=AD^2＋AE^2－2AD×AE×cosa＝x^2＋(78/x)^2－2×78×(12/13)＝x^2＋(78/x)^2－144
因为 x^2＋(78/x)^2>=2×78＝156
所以 DE^2>=156－144＝14
DE>=根号14
所以 线段DE的最小长度为根号14

还有:~~~~~~~~~~~~~~~
由线段DE将三角形ABC分为面积相等的两部分可知，
三角形ADE的面积为三角形ABC面积的1/2
即1/2*AD*AE*SinA=1/2*1/2*AB*AC*SinA
得AD*AE=1/2*AB*AC=78
由余弦定理
CosA=（AD^2+AE^2-DE^2）/(2*AD*AE)=12/13
再由均值不等式得
12/13>=（2*AD*AE-DE^2）/(2*AD*AE)
即12/13>=(156-DE^2)/156
得DE^2>=12
得DE>=2倍的根号下3
即DE的最短长度为2倍的根号下3

我想,这是对的.

追问

对不起，请问为什么1/2*AD*AE*SinA=1/2*1/2*AB*AC*SinA
没看懂
而且我九年级，什么叫均值不等式啊？
不过谢谢了！！！！！！！！！！

Answer 2

应该要设个二次函数，容我计算片刻：）
再等等= =
实在没想出来，我再想想，明天补课，让我先做作业