Question

如图,在△ABC中,点P是AB上的一点,且向量CP=3/4向量CA+1/4向量CB，Q是BC的中点

Answer 1

解：D.
∵向量AQ=(1/2)(向量AC+向量BC). 【为简化打字，以下省去“向量”二字】
即， AQ=(1/2)(AC-+BC).
=(1/2)[-CA+(CB-CA)].
=(1/2)(-2CA+CB).
AQ=-CA+(1/2)CB.
CM=CQ-MQ.
=CQ-(AQ-AM).
=(1/2)CB-[(AQ-μAQ).
=(1/2)CB-[(1-μ)AQ]
=(1/2)CB +(1-μ)CA-(1/2)(1-μ)CB
∴CM=(1-μ )CA+(μ/2)CB. (1).
又题设 CM=λCP.
即， CM=λ[(3/4)CA+(1/4)CB]=(3λ/4)CA+(λ/4)CB. (2).
由(1)=(2),并令等式两边的同一个向量的对应系数相等，得：
3λ/4=(1-μ） （*)
μ/2=λ/4 (**).
由（**）得：λ=2μ. 将λ=2μ代入(*)式，得：μ=2/5，最后得到： λ=4/5.
∴λ+μ=2/5+4/5=6/5.
∴选D.

Answer 2

CM=CA+AM=CA+μAQ=CA+μ(AC+CQ)=CA+μ(AC+1/2CB)=(1-μ)CA+1/2μCB

CM=入CP=3入/4CA+入/4CB

有1-μ=3入/4; 1/2μ=入/4，解得μ=2/5，入=4/5，所以μ+入=6/5
答案为D

ps：其实用纯平面几何的知识也可以解。容易知道P为AB的一个四等分点，过P作PN∥BC，交AB于N，交AQ于E，易知PN=1/4BC，NE=1/4CQ=1/8BC，所以PE=1/8BC=1/4CQ，根据三角形相似可以知道PM=1/4CP，所以PM=1/5CP，那么CM=4/5CP，即入=4/5。类似的，可求出AM=2/5AQ

Answer 3

解:D.
∵向量AQ=(1/2)(向量AC+向量BC).
【简化打字省向量二字】
即
AQ=(1/2)(AC-+BC).
=(1/2)[-CA+(CB-CA)].
=(1/2)(-2CA+CB).
AQ=-CA+(1/2)CB.
CM=CQ-MQ.
=CQ-(AQ-AM).
=(1/2)CB-[(AQ-μAQ).
=(1/2)CB-[(1-μ)AQ]
=(1/2)CB
+(1-μ)CA-(1/2)(1-μ)CB
∴CM=(1-μ
)CA+(μ/2)CB.
(1).
题设
CM=λCP.
即
CM=λ[(3/4)CA+(1/4)CB]=(3λ/4)CA+(λ/4)CB.
(2).
由(1)=(2),并令等式两边同向量应系数相等:
3λ/4=(1-μ)
(*)
μ/2=λ/4
(**).
由(**):λ=2μ.
λ=2μ代入(*)式:μ=2/5:
λ=4/5.
∴λ+μ=2/5+4/5=6/5.
∴选D.