大一曲面积分
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∫∫（ax+by+cz+d）^2dS
=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+d^2+2abxy+2bcyz+2acxz+2adx+2bdy+2cdz)ds
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知
∫∫xds=∫∫yds=∫∫zds=∫∫xyds=∫∫yzds=∫∫xzds=0,由坐标的轮换对称性知:
∫∫x^2ds=∫∫y^2ds=∫∫z^2ds=1/3∫∫(x^2+y^2+z^2)ds
原式=(a^2+b^2+c^2)∫∫x^2ds+d^2∫∫ds
=[1/3R^2(a^2+b^2+c^2)+d^2]∫∫ds
=4πR^2[1/3R^2(a^2+b^2+c^2)+d^2]
=(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2+d^2+2abxy+2bcyz+2acxz+2adx+2bdy+2cdz)ds
由积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知
∫∫xds=∫∫yds=∫∫zds=∫∫xyds=∫∫yzds=∫∫xzds=0,由坐标的轮换对称性知:
∫∫x^2ds=∫∫y^2ds=∫∫z^2ds=1/3∫∫(x^2+y^2+z^2)ds
原式=(a^2+b^2+c^2)∫∫x^2ds+d^2∫∫ds
=[1/3R^2(a^2+b^2+c^2)+d^2]∫∫ds
=4πR^2[1/3R^2(a^2+b^2+c^2)+d^2]
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