Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a)是奇函数。（1）求a,b的值;

（2）若对任意的t∈R,不等式f(t-2t)+f(2t-k)<0恒成立，求k的取值范围；

Answer 1

1)对R上的奇函数来说，f(0)=0,即-1+b=0,b=1. F(x)=(-2^x+1)/(2^(x+1)+a) 又有F(-x)=- F(x) (-2^(-x)+1)/(2^(-x+1)+a)= -(-2^x+1)/(2^(x+1)+a)……左边式子的分子分母同乘以2^x (-1+2^x)/(2+a2^x)= (2^x-1)/(2^(x+1)+a) 所以2+a2^x=2^(x+1)+a a(2^x-1)= 2^(x+1)-2, a(2^x-1)= 2(2^x-1) 所以a=2. (2)所以 f(x) = (-2^x+1)/[2^(x+1)+2]= (-2^x+1)/{2[2^x + 1]} = (-2^x - 1 + 2)/{2[2^x + 1]} = -1/2 + 1/(2^x + 1) 设x1 < x2 则f(x2) - f(x1) = 1/(2^x2 + 1) - 1/(2^x1 + 1) = (2^x1 - 2^x2)/[(2^x2 + 1)(2^x1 + 1)] < 0 所以f(x2) < f(x1) 所以f(x)是减函数 (3)f(t-2t)+f(2 t-k)<0 f(t-2t) < -f(2 t-k)……利用奇函数定义可得下式 f(t-2t) < f(k-2 t)……利用单调递减可得下式 所以t-2t> k-2 t K<3t-2t 3t-2t=3(t-1/3) -1/3≥-1/3 所以恒成立时，只需k小于函数3t-2t的最小值即可。 ∴K<-1/3