Question

幂级数的乘除法概念相互矛盾！能说服我者 愿悬赏100重谢

根据课本幂级数乘法：级数A收敛半径R1 级数B收敛半径R2 R1小于R2 两者之积为级数C 应该收敛半径R1。又根据课本级数的除法：级数C除以级数A所得商级数B 可能比二者的收敛半径小得多 也就是说R2可能比R1小得多 这与之前所说的R1小于R2严重矛盾！！！
另外再此请那些编写教材的“老师”们讲一些师德，对每一个概念负责任，如此矛盾编写实在是误人子弟。
k看来把大家难住了。。。

Answer 1

不知道你用的是什么教材, 正确结论是这样的:
设幂级数A, B的收敛半径分别为R1, R2且R2 ≥ R1,
二者Cauchy乘积为幂级数C, 则C的收敛半径 ≥ R1.
其中等号不一定成立, 例如:
A = ∑{0 ≤ n} x^n收敛半径R1 = 1, 和函数为1/(1-x).
B = (1-x)·∑{0 ≤ n} x^n/2^n
= ∑{0 ≤ n} x^n/2^n - ∑{0 ≤ n} x^(n+1)/2^n
= 1+∑{1 ≤ n} x^n/2^n - ∑{1 ≤ n} x^n/2^(n-1)
= 1-∑{1 ≤ n} x^n/2^n,
收敛半径R2 = 2, 和函数为(1-x)/(1-x/2).
二者乘积C = ∑{0 ≤ n} x^n/2^n, 收敛半径为2 > R1, 和函数为1/(1-x/2).

也许教材的意思是:
因为A在半径R1以外发散, 所以此时C作为A和B的乘积"没有意义",
但这不妨碍C作为幂级数的收敛性.
也就是保证乘积有意义且收敛的半径是R1,
但单纯的收敛半径可以大于R1.