Question

三角形ABC中，AB=二倍根号2，BC=1，∠ABC=45°，以AB为一边作等腰直角三角形ABD，使∠ABD=90°

连接CD的长，求线段CD的长。

Answer 1

答案为【√5或√13】

   过程如下：

   解：①如图1，D与C在AB的同侧.

            延长BC交AD于E.

           ∵∠ABC=45°，∠ABD=90°（已知）,

           ∴∠DBE=∠ABD-∠ABC=45°（等量代换）.

           在△BDE中，

           ∠DBE+∠BDE+∠BED=180°（三角形内角和定理）.

           又∵∠BDE=45°（已知）,

           ∴∠BED=90°（等量代换）.

           ∴由勾股定理得，BE²+DE²=BD²，2BE²=(2√2)²，

               2BE²=8，BE²=4，BE=2.

           ∴CE=BE-BC=2-1=1（等量代换）.

           ∴在△CDE中，由勾股定理得，

               CD=√(CE²+DE²)=√(1+4)=√5.    

②如图2，D与C在A的异侧.

           作△DBC上DB的高线CE交DB的延长线于E.

           ∵∠ABC=45°，∠ABE=90°（已知）,

           ∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=45°（等量代换）.

           在△BCE中，∠CBE+∠E+∠BCE=180°（三角形内角和定理）,

           又∵∠E=90°（已作）,

           ∴∠BCE=45°（等量代换）.

           ∴由勾股定理得，BE²+CE²=BC²，2CE²=1²，CE²=1/2，CE=√2/2.

这答案我是看到引用的，很全也比较准确，你看一下，不明白的追问

懂了记得采纳哈，谢谢

Answer 2

由于三角形ABD是等腰直角三角形，所以AB=BD=√2 ，∠ABD=90°
所以：∠DBC=∠DBA+∠ABC=135°
在三角形DBC中，有余弦定理知：
CD^2=BD^2+BC^2-2BDBCcos135°=2+1+2*√2*1*√2/2=5
所以CD=√5