Question

概率论 中心极限定理 大数定理

某单位有200台电话机，每台有5%时间要使用外线通话，若每台电话是否使用外线是相互独立的，问至少要多少条外线，才能以90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线是不被占用？

Answer 1

把200台电话机编号，从1到200，对于每台电话i，使用随机标记函数 Hi，
当i 需要使用外线时，Hi=1， 当i 不需要使用外线时，Hi=0.
考虑随机变量 Y=Σ_(1<=i<=200) Hi，由Hi的定义，可知，Y的值表示同一时间内需要使用外线的电话数量。90%以上的概率保证每台电话机需要使用外线时不被占用，即要找到一个最小x值，使得概率 P(Y<=x) >= 0.9 。或P(Y<=x) = 0.9
考虑随机变量 Y/200 = (1/200)Σ_(1<=i<=200) Hi ，由中心极限定理，
Y/200 近似于 正态分布 N(m, v), 其中 均值 m=E(Hi)=0.05, 方差 v=V(Hi) / 200 = 0.05*0.95 / 200
所以，要求
0.9 = P(Y<=x) = P(Y/200<=x/200) = P(Y/200-m<=x/200-m) =P( [Y/200-m] / √v<=[x/200-m] / √v)
显然，[Y/200-m] / √v 近似于标准正态分布 N(0, 1)，所以，
[x/200-m] / √v 应该为 标准正态分布 N(0, 1) 90% 的quantile（分位点）。
所以 [x/200-m] / √v =1.28， 最后
x = 200(1.28 √v +m) = 10+ 1.28* √(200*0.05*0.95) = 13.95,
应取大于这个值的最小整数，所以 x=14.