Question

求∮(x+y)dx-(x-y)dy 其中L为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取逆时针方向 的解法

求∮(x+y)dx-(x-y)dy 其中L为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取逆时针方向 的解法

Answer 1

解：∵令P=x+y，Q=-x+y
∴αP/αy=1，αQ/αx=-1
∵L为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1 取逆时针方向
∴根据格林定理，得
∮<L>(x+y)dx-(x-y)dy=∫∫<S>(αQ/αx-αP/αy)dxdy (S是椭圆区域：x^2/a^2+y^2/b^2≤1)
=-2∫∫<S>dxdy
=-2∫<0,2π>dθ∫<0,1>abrdr (作变换：x=a*r*cosθ，y=b*r*sinθ)
=-2(2π)(ab/2)
=-2πab。

追问

=-2∫∫dxdy
=-2∫dθ∫abrdr
这两部之间是怎么变的？求详情

追答

作变换：x=a*r*cosθ，y=b*r*sinθ (这叫做广义极坐标)

则 0≤θ≤2π，0≤r≤1
dxdy=│J│dθdr=a*b*rdθdr (│J│雅克比行列式，自己查阅二重积分变量变换章节)
故∫∫dxdy=∫dθ∫abrdr。