Question

在椭圆x^2/16 +y^2/4=1中，经过点（2，1）且被此点平分的弦所在的直线方程是？

Answer 1

利用点斜式法：
设弦所在直线的方程y=k(x-2)+1,显然k 存在且不等于0，将椭圆X^2/16+Y^2/4=1与直线方程联立，消去y得到
二次方程：x^2+4[kx+(1-2k)]^2=16
化简得：(1+4k^2)x^2+8k(1-2k)x+4(1-2k)^2-16=0
由于p(2，1)是椭圆内部的点，所以直线一定与椭圆有两个交点，方程的判别式一定大于0。
利用方程的根与系数的关系有：x1+x2=-8k(1-2k)/(1+4k^2)
由弦被p点平分，则x1+x2=4
-8k(1-2k)/(1+4k^2)= 4
解得：k=-1/2
所求方程为：
y=-1/2(x-2)+1
化简为：
x+2y-4=0

Answer 2

用点差法：设两个交点的坐标分别为A（x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程得：
x1^2/16 +y1^2/4=1，x2^2/16 +y2^2/4=1两式相减整理得：（y1+y2)/(x1+x2)*（y1-y2)/(x1-x2)=-1/4
而（y1+y2)/(x1+x2)=1/2（练习中点坐标公式）；（y1-y2)/(x1-x2)表示直线的斜率
所以斜率k=-1/2,由点斜式得直线方程为：y-1=-1/2(x-2)整理得：x+2y-4=0