Question

如图所示，在Rt三角形 ABC中，角C等于90度，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线

交于点O，连接OC，已知AC等于5，OC
等于6，求直角三角形ABC另一直角边BC的长。

Answer 1

解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，
∴∠AOB=90°，OA=OB，
∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，
∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，

∠AMO＝∠OFB＝90°    

∠OAM＝∠BOF    

OA＝OB，

∴△AOM≌△BOF（AAS），
∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，
∴四边形ACFM为矩形，
∴AM=CF，AC=MF=5，
∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，
∵OC=6根号2 ，

∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，
解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF-FM=6-5=1，
则BC=CF+BF=6+1=7．
故答案为：7．

解法二：如图2所示，
过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．
∴O点在∠ACB的平分线上，
∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6根号2，

∴CM=ON=6．
∴MA=CM-AC=6-5=1，
∴BC=CN+NB=6+1=7．
故答案为：7．

Answer 2

oc应该是6根号2吧

∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB。
∴∠AOM+∠BOF=90°。
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°。∴∠BOF=∠OAM。
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS）。∴AM=OF，OM=FB。
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形。∴AM=CF，AC=MF=5。
∴OF=CF。∴△OCF为等腰直角三角形。
∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6。
∴FB=OM=OF－FM=6－5=1。∴BC=CF+BF=6+1=7。