Question

若斜率为2的动直线l与抛物线x^2=4y相交于不同的两点AB，O为坐标原点

（1）若线段AB上的P点满足向量AP=向量PB，求动点P的轨迹方程
（2）对于（1）中的点P，若点O关于点P的对称点为Q且|向量OQ|≤4根号85，求直线L在y轴上截距的取值范围

Answer 1

解：先画草图，再计算分析：
(1)P点为AB的中点，设A(x1，x1²/4)、B(x2，x2²/4)，
计算得kAB=(x1+x2)/4=2，则P(4，(x1²+x2²)/8)，
即P点的轨迹方程为x=4(y>4)；即P点方程为(4，y)(y>4)；
(2)设Q(x3，y3)，则x3+0=2×4=8，y3+0=2×y，
即Q点的轨迹方程为x=8(y>8)；
而|向量OQ||≤4√85，则P点的轨迹方程x=4(y>4)的ymax=2√85，
则其y的取值范围为(4，2√85]，而kL=2，
则其对应的直线L在y轴上截距的取值范围为(4-8，2√85-8]，
即(-4，2√85-8].