Question

求该微分方程

求该微分方程
(y^3)y”+1=0；y(1)=1,y’(1)=0
求微分方程特解的漏洞，谁能弥补？

http://wenwen.soso.com/z/q285641126.htm

Answer 1

令dy/dx=p，则y''=dp/dx=dp/dy*dy/dx=pdp/dy，原式变为pdp/dy=-1/y^3
解得：p=±√(1/y^2+C1)=dy/dx
最后解得y=±√[C1(x+C2)^2-1/C1]
带入y(1)=1有C1(1+C2)^2-1/C1=1
带入y'(1)=0有C1(1+C2)=0。显然C1≠0，否则所求的等式就不成立，所以只有C2=-1，于是C1=-1。
所以该微分方程的解是y=±√[-(x-1)^2+1]
注意到条件式(y^3)y''+1=0恒成立，且y(1)=1，则x=1时左式有1*y''+1=0，推出y''=-1，说明y=y(x)在x=1处是一个上凸曲线（即开口向下）的顶点，所以显然舍去解中的负号
最后y=√[-(x-1)^2+1]=√(2x-x^2) (0≤x≤2)

追问

您能详细写写这个式子的得出过程y=±√[C1(x+C2)^2-1/C1]吗？

追答

过程就在上面的啊，我是用的高阶方程的降阶法。因为原方程不显含自变量，所以令dy/dx=p。化完后就变成了p关于y的一阶方程了。求出p，因为p本身就是y关于x的一阶导，所以再积分一次就是原函数。其中有两个常数C1、C2。分别代入y(1)=1，y'(1)=0能求解了
但是我们知道(y^3)y”+1=0在任意时刻都成立，所以x=1时仍成立。就得到了y''(1)=-1<0.
一阶导表示斜率，二阶导表示曲线拐点，这个你应该知道了，所以，不是说哪个条件不能用，最终答案也不能叫“特解”或者“漏洞”什么的~~——条件不能用不就矛盾了吗——而是算出的解多了，要排除不存在的（就像我们算一元二次方程，有的题目需要排除虚根一样）。

Answer 2

原式可以化成y”=-1/y^3，然后根据初始条件积分两次就可以了

Answer 3

y''=y'dy'/dy
代入方程y'dy'=-y^(-3)d
积分得y‘^2=y^2+c
代入初始条件得c=-1
化简得ydy/(1-y^2)^(1/2)=dx
积分得-（1-y^2)^(1/2)=x+c
代入初始条件得c=-1
所以（x-1）^2+y^2=1

追问

你的ydy/(1-y^2)^(1/2)=dx一步里(1-y^2)^(1/2)为分母，这导致了
y≠±1，那么后面的初始条件x=1时，y=1就不能用了啊！怎么你还能继续求下去呢？

追答

这是积分的中间过程，代入初始条件的式子是积分后的式子，两个式子不一样，初始条件是对积分后的式子适用的，对ydy/(1-y^2)^(1/2)=dx没有限制

追问

“积分后的式子”是由“积分的中间过程”推导出来的，换句话说“积分后的式子”是建立在“积分的中间过程”之上的，所以ydy/(1-y^2)^(1/2)=dx一步里(1-y^2)^(1/2)为分母，这导致了
y≠±1，同时也就限制了-（1-y^2)^(1/2)=x+c式子里y≠1，故不能应用初始条件。我是这样认为的，你觉得呢？

追答

先给你另一题
y‘=（1+y）^(1/2)
答案过程为
当y≠-1时，分离变量得
dy/(1+y)^(1/2)=dx
两端积分得
2（1+y）^(1/2)=x+c
c为任意常数
注：本例的通解是在y≠-1的条件下求得的。而y=-1显然是方程的解，但它没有包含在通解中。因此，不能认为通解包含方程的所有解。
对这道题在ydy=(1-y^2)^(1/2)dx步假设y≠1
后面的步骤就能进行，得到
-（1-y^2)^(1/2)=x+c，
而y=1对于yy’=(1-y^2)^(1/2)也成立
显然y=1是方程的解
这就是初始条件的来历

Answer 4