Question

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0

设函数f(x)=ax^3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x-6y-7=0垂直,且在x=2处取得极值.(I)求a,b,c,的值;(II)求函数f(x)在[-1,3]上的最大值和最小值

Answer 1

答: (1). 函数定义域为R,由f(x)为奇函数得c=0,f(x)ax^3+bx f'(x)=3ax^2+b,f'(1)=3a+b 又x-6y-7=0即为y=x/6-7/6,斜率为1/6,所以(3a+b)/6=-1,即3a+b=-6 因为f(2)为极值,所以f'(2)=12a+b=0 解方程组得:a=2/3,b=-8 所以a=2/3,b=-8,c=0,即f(x)=2/3x^3-8x (2). f(x)=2/3x^3-8x,f'(x)=2x^2-8 当x>2时或x<2时,f'(x)>0,f(x)递增,所以(2,f(2))为函数的极小值点,也是最小值点。 所以f(x)在[-1,2]上递减,在(2,3]上递增。 f(2)=-32/3,f(-1)=22/3,f(3)=-6 所以f(x)在[-1,3]上的最大值为f(-1)=22/3,最小值为f(-2)=-32/3.