Question

高中数学不等式竞赛题

Answer 1

这题用排序不等式及柯西不等式来证明。
排序不等式：若a1>=a2>=...>=an>=0; b1>=b2>=...>=bn>=0;
那么a1b1+a2b2+...+anbn>=(a1+a2+...+an)(b1+b2+...bn)/n.

柯西不等式：ak>=0,1<=k<=n,那么(a1+a2+...+an)(1/a1+1/a2+...1/an)>=n^2.

数学归纳法：
n=1时,不妨设a>=b>=c,那么1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b),根据排序不等式得
a/(b+c)+b/(a+c)+c/(a+b)>=(a+b+c)(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))/3=((b+c)+(a+c)+(a+b))(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))/6,而根据柯西不等式得到((b+c)+(a+c)+(a+b))(1/(b+c)+1/(a+c)+1/(a+b))/6>=3/2；
设n=k时，a^k/(b+c)+b^k/(a+c)+c^k/(a+b)>=3/2成立，则当n=k+1时，
由于a>=b>=c,那么a^k/(b+c)>=b^k/(a+c)>=c^k/(a+b),根据排序不等式得
a^k+1/(b+c)+b^k+1/(a+c)+c^k+1/(a+b)>=(a+b+c)(a^k/(b+c)+b^k/(a+c)+c^k/(a+b))/3>=3/2，故证毕

追问

我是想看一下有没有更好的解题方法。你的方法跟我的差不多。也是用数学归纳法。
不过，我用的是将a^k/(b+c)+b^k/(a+c)+c^k/(a+b)>=3/2左右两边同时乘以（a+b+c）,很快就可以证明出来。

Answer 2

考虑均值不等式，
运用abc=1。
考虑柯西不等式，
这个不等式的对称轮转式的一般求解方法。
早不做了，只是给你点思路。