Question

如图，已知直线PA交圆O于A,B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且 AC平分∠PAE，过

如图，已知直线PA交圆O于A,B两点，AE是圆O的直径，点C为圆O上一点，且
AC平分∠PAE，过C作CD垂直PA，垂足为D。（1）求证CD为圆O的切线；（2）若DC+DA＝6，圆O 的直径为10，求AB的长度？

Answer 1

解：（1）连接OC，
因为点C在⊙O上，0A=OC，
所以∠OCA=∠OAC，
因为CD⊥PA，
所以∠CDA=90°，
有∠CAD+∠DCA=90°，
因为AC平分∠PAE，
所以∠DAC=∠CAO，
所以∠DCO=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°，
又因为点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，所以CD为⊙O的切线；
（2）过O作0F⊥AB，垂足为F，
所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 
所以四边形OCDF为矩形，
所以OC=FD，OF=CD，
∵DC+DA=6，
设AD=x，则OF=CD=6-x，
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，
∴AF=5-x，